正弦函數、余弦函數圖像教案及反思

篇一：正弦函數、余弦函數圖像教案及反思

教材分析

　　三角函數是基本初等函數之一，是描述周期現象的重要數學模型，是函數大家庭的一員。除了基本初等函數的共性外，三角函數也有其個性的特征，如圖像、周期性、單調性等，所以本節內容有著承上啟下的作用；另外，學習完三角函數的定義之后，必然要研究其性質，而研究函數的性質最常用、最形象直觀的方法就是作出其圖像，再通過圖像研究其性質。由于正弦線、余弦線已經從“形”的角度描述了三角函數,因此利用單位圓中的三角函數線畫正弦函數圖象是一個自然的想法.當然,我們還可以通過三角函數的定義、三角函數值之間的內在聯系性等來作圖,從畫出的圖形中觀察得出五個關鍵點,得到“五點法”畫正弦函數、余弦函數的簡圖. 教學目標

　　1.通過簡諧振動實驗演示,讓學生對函數圖像有一些直觀的感知,形成正弦曲線的初步認識,進而探索正弦曲線準確的作法,養成善于發現、善于探究的良好習慣.學會遇到新問題時善于調動所學過的知識,較好地運用新舊知識之間的聯系,提高分析問題、解決問題的能力.

　　2.通過本節學習,理解正弦函數、余弦函數圖象的畫法.借助圖象變換,了解函數之間的內在聯系.通過三角函數圖象的三種畫法:描點法、幾何法、五點法,體會用“五點法”作圖給我們學習帶來的好處,并會熟練地畫出一些較簡單的函數圖象.

　　3.通過本節的學習,讓學生體會數學中的圖形美,體驗善于動手操作、合作探究的學習方法帶來的成功愉悅.滲透由抽象到具體的思想,加深數形結合思想的認識,理解動與靜的辯證關系,樹立科學的辯證唯物主義觀. 重點難點

教學重點:正弦函數、余弦函數的圖象.

教學難點:將單位圓中的正弦線通過平移轉化為正弦函數圖象上的點;正弦函數與余弦函數圖象間的關系.

教學用具：多媒體教學、幾何畫板軟件、ppt控件 教學過程 導入新課

　　1.(復習導入)首先復習相關準備知識：三角函數、三角函數線。遇到一個新的函數,非常自然的是畫出它的圖象,觀察圖象的形狀,看看有什么特殊點,并借助圖象研究它的性質,如:值域、單調性、奇偶性、最大值與最小值等.我們也很自然的想知道y=sinx與y=cosx的圖象是怎樣的呢?回憶我們是如何畫出它們圖象的(列表描點法:列表、描點、連線)?

　　2.(物理實驗導入)視頻觀看“簡諧運動”實驗.得到一條曲線,它就是簡諧運動的圖象.物理中把簡諧運動的圖象叫做“正弦曲線”或“余弦曲線”.有了上述實驗,你對正弦函數、余弦函數的圖象是否有了一個直觀的印象?畫函數的圖象,最基本的方法是我們以前熟知的列表描點法,但不夠精確.下面我們利用正弦線畫出比較精確的正弦函數圖象. 推進新課

新知探究 提出問題

　　問題①:作正弦函數圖象的各點的縱坐標都是查三角函數表得到的數值,由于對一般角的三角函數值都是近似值,不易描出對應點的精確位置.我們如何得到任意角的三角函數值并用線段長(或用有向線段數值)表示x角的三角函數值?怎樣得到函數圖象上點的兩個坐標的準確數據呢?簡單地說,就是如何得到y=sinx,x∈［0,2π］的精確圖象呢?

　　問題②:如何得到y=sinx,x∈R時的圖象?

　　對問題①,第一步,可以想象把單位圓圓周剪開并12等分,再把x軸上從0到2π這一段分成12等份.由于單位圓周長是2π,這樣就解決了橫坐標問題.過⊙O1上的各分點作x軸的垂線,就可以得到對應于0、2π等角的正弦線,這樣就解決了縱坐標問題(相6432當于“列表”).第二步,把角x的正弦線向右平移,使它的起點與x軸上的點x重合,這就得到了函數對(x,y)(相當于“描點”).第三步,再把這些正弦線的終點用平滑曲線連接起來,我們就得到函數y=sinx在［0,2π］上的一段光滑曲線(相當于“連線”).如圖1所示(這一過程用課件演示,讓學生仔細觀察怎樣平移和連線過程.然后讓學生動手作圖,形成對正弦函數圖象的感知).這是本節的難點,教師要和學生共同探討

　　對問題②,因為終邊相同的角有相同的三角函數值,所以函數y=sinx在x∈[2kπ,2(k+1)π],k∈Z且k≠0上的圖象與函數y=sinx在x∈[0,2π]上的圖象的形狀完全一致,只是位置不同.于是我們只要將函數y=sinx,x∈[0,2π］的圖象向左、右平行移動(每次2π個單位長度),就可以得到正弦函數y=sinx,x∈R的圖象.(這一過程用課件處理,讓同學們仔細觀察整個圖的形成過程,感知周期性)

　　操作結果、總結提煉:①利用正弦線,通過等分單位圓及平移即可得到y=sinx,x∈［0,2π］的圖象. ②左、右平移,每次2π個長度單位即可. 提出問題

　　如何畫出余弦函數y=cosx,x∈R的圖象?你能從正弦函數與余弦函數的關系出發,利用正弦函數圖象得到余弦函數圖象嗎?

　　意圖:如果再用余弦線作余弦函數的圖象那太麻煩了,根據已學的知識,教師引導學生觀察誘導公式,思考探究兩個函數之間的關系,通過怎樣的坐標變換可得到余弦函數圖象?讓學生從函數解析式之間的關系思考,進而學習通過圖象變換畫余弦函數圖象的方法.讓學生動手做一做,體會正弦函數圖象與余弦函數圖象的異同,感知兩個函數的整體形狀,為下一步學習正弦函數、余弦函數的性質打下基礎. 討論結果:

　　把正弦函數y=sinx,x∈R的圖象向左平移個單位長度即可得到余弦函數圖象

　　正弦函數y=sinx,x∈R的圖象和余弦函數y=cosx,x∈R的圖象分別叫做正弦曲線和余弦曲線點.

　　提出問題 問題①:以上方法作圖,雖然精確,但不太實用,自然我們想尋求快捷地畫出正弦函數圖象的方法.你認為哪些點是關鍵性的點? 問題②:你能確定余弦函數圖象的關鍵點,并作出它在［0,2π］上的圖象嗎? 活動:對問題①,教師可引導學生從圖象的整體入手觀察正弦函數的圖象,發現在［0,2π］上有五個點起關鍵作用,只要描出這五個點后,函數y=sinx在［0,2π］上的圖象的形狀就基本上確定了.這五點如下: (0,0),(3,1),(π,0),(,-1),(2π,0).

　　因此,在精確度要求不太高時,我們常常先找出這五個關鍵點,然后用光滑的曲線將它們連接起來,就可快速得到函數的簡圖.這種近似的“五點(畫圖)法”是非常實用的,要求熟練掌握.

　　對問題②,引導學生通過類比,很容易確定在［0,2π］上起關鍵作用的五個點,并指導學生通過描這五個點作出在［0,2π］上的圖象. 討論結果:①略. ②關鍵點也有五個,它們是:(0,1),(3,0),(π,-1),(,0),(2π,1).