正多邊形的有關(guān)計(jì)算的教案設(shè)計(jì)
教學(xué)目標(biāo) ：
(1)會(huì)將正多邊形的邊長、半徑、邊心距和中心角、周長、面積等有關(guān)的計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題;
(2)鞏固學(xué)生解直角三角形的能力，培養(yǎng)學(xué)生正確迅速的運(yùn)算能力;
(3)通過正多邊形有關(guān)計(jì)算公式的推導(dǎo)，激發(fā)學(xué)生探索和創(chuàng)新.
教學(xué)重點(diǎn):
把問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題.
教學(xué)難點(diǎn) :
正確地將問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題解決、綜合運(yùn)用幾何知識準(zhǔn)確計(jì)算.
教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì):
(一)創(chuàng)設(shè)情境、觀察、分析、歸納結(jié)論
1、情境一：給出圖形.
問題1：正n邊形內(nèi)角的規(guī)律.
觀察：在圖形中，應(yīng)用以有的知識(多邊形內(nèi)角和定理，多邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等)得出新結(jié)論.
教師組織學(xué)生自主觀察，學(xué)生回答.(正n邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于 .)
2、情境二：給出圖形.
問題2：每個(gè)圖形的半徑，分別將它們分割成什么樣的三角形?它們有什么規(guī)律?
教師引導(dǎo)學(xué)生觀察，學(xué)生回答.
觀察：三角形的形狀，三角形的個(gè)數(shù).
歸納：正n邊形的n條半徑分正n邊形為n個(gè)全等的等腰三角形.
3、情境三：給出圖形.
問題3：作每個(gè)正多邊形的邊心距，又有什么規(guī)律?
觀察、歸納：這些邊心距又把這n個(gè)等腰三角形分成了個(gè)直角三角形，這些直角三角形也是全等的..
(二)定理、理解、應(yīng)用：
1、定理： 正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n 個(gè)全等的直角三角形.
2、理解：定理的實(shí)質(zhì)是把正多邊形的問題向直角三角形轉(zhuǎn)化.
由于這些直角三角形的斜邊都是正n邊形的半徑R，一條直角邊是正n邊形的邊心距rn，另一條直角邊是正n邊形邊長an的一半，一個(gè)銳角是正n邊形中心角 的一半，即 ，所以，根據(jù)上面定理就可以把正n邊形的有關(guān)計(jì)算歸結(jié)為解直角三角形問題.
3、應(yīng)用：
例1、已知正六邊形ABCDEF的半徑為R，求這個(gè)正六邊形的邊長、周長P6和面積S6.
教師引導(dǎo)學(xué)生分析解題思路：
n=6 =30，又半徑為R a6 、r6. P6、S6.
學(xué)生完成解題過程，并關(guān)注學(xué)生解直角三角形的能力.
解：作半徑OA、OB;作OGAB，垂足為G，得Rt△OGB.
∵GOB=，
a6 =2Rsin30=R，
P6=6a6=6R，
∵r6=Rcos30=，
.
歸納：如果用Pn表示正n邊形的周長，由例1可知，正n邊形的面積S6=Pn rn.
4、研究：(應(yīng)用例1的方法進(jìn)一步研究)
問題：已知圓的半徑為R，求它的內(nèi)接正三角形、正方形的邊長、邊心距及面積.
學(xué)生以小組進(jìn)行研究，并初步歸納：
; ; ; ;
; .
上述公式是運(yùn)用解直角三角形的方法得到的.
通過上式六公式看出，只要給定兩個(gè)條件，則正多邊形就完全確定了.例如：(1)圓的半徑或邊數(shù);(2)圓的半徑和邊心距;(3)邊長及邊心距，就可以確定正多邊形的其它元素.
(三)小節(jié)
知識：定理、正三角形、正方形、正六邊形的元素的計(jì)算問題.
思想：轉(zhuǎn)化思想.
能力：解直角三角形的能力、計(jì)算能力;觀察、分析、研究、歸納能力.
(四)作業(yè)
歸納正三角形、正方形、正六邊形以及正n邊形的有關(guān)計(jì)算公式.
教學(xué)設(shè)計(jì)示例2
教學(xué)目標(biāo) ：
(1)進(jìn)一步研究正多邊形的計(jì)算問題，解決實(shí)際應(yīng)用問題;
(2)通過正十邊形的邊長a10與半徑R的關(guān)系的證明，學(xué)習(xí)邊計(jì)算邊推理的數(shù)學(xué)方法;
(3)通過解決實(shí)際問題，培養(yǎng)學(xué)生簡單的數(shù)學(xué)建模能力;
(4)培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)意識，滲透理論聯(lián)系實(shí)際、實(shí)踐論的觀點(diǎn).
教學(xué)重點(diǎn):
應(yīng)用正多邊形的基本計(jì)算圖解決實(shí)際應(yīng)用問題及代數(shù)計(jì)算的證明方法.
教學(xué)難點(diǎn) :
例3的證明方法.
教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)：
(一)知識回顧
(1)方法：運(yùn)用將正多邊形分割成三角形的方法，把正多邊形有關(guān)計(jì)算轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題.
(2)知識：正三角形、正方形、正六邊形的有關(guān)計(jì)算問題，.
組織學(xué)生填寫教材P165練習(xí)中第2題的表格.
(二)正多邊形的應(yīng)用
方法是基本的幾何計(jì)算知識之一，掌握這些知識，一方面可以為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)，另一方面，這些知識在生產(chǎn)和生活中常常會(huì)用到，掌握后對學(xué)生參加實(shí)踐活動(dòng)具有實(shí)用意義.
例2、在一種聯(lián)合收割機(jī)上，撥禾輪的側(cè)面是正五邊形，測得這個(gè)正五邊形的邊長是48cm，求它的半徑R5和邊心距r5(精確到0.1cm).
解：設(shè)正五邊形為ABCDE，它的中心為點(diǎn)O，連接OA，作OFAB，垂足為F，則OA=R5，OF=r5，AOF=.
∵AF=(cm)，R5=(cm).
r5=(cm).
答：這個(gè)正多邊形的半徑約為40.8cm，邊心距約為33.0cm
建議：①組織學(xué)生，使學(xué)生主動(dòng)參與教學(xué);②滲透簡單的數(shù)學(xué)建模思想和實(shí)際應(yīng)用意識;③對與本題除解直角三角形知識外，還要主要學(xué)生的近似計(jì)算能力的培養(yǎng).
以小組的學(xué)習(xí)形式，每個(gè)小組自己舉一個(gè)實(shí)際生活中的例子加以研究，班內(nèi)交流.
例3、已知：正十邊形的半徑為R，求證：它的邊長 .
教師引導(dǎo)學(xué)生：
(1)AOB=?
(2)在△OAB中，A與B的度數(shù)?
(3)如果BM平分OBA交OA于M，你發(fā)現(xiàn)圖形中相等的線段有哪些?你發(fā)現(xiàn)圖中三角形有什么關(guān)系?
(4)已知半徑為R，你能不通過解三角形的方法求出AB嗎?怎么計(jì)算?
解：如圖，設(shè)AB=a10.作OBA的平分線BM，交OA于點(diǎn)M，則
AOB=2=36，OAB=3=72.
OM=MB=AB=a10.
△ OAB∽△BAM OA:AB=BA:AM，即R :a10=a10:(R- a10)，整理，得
， (取正根).
由例3的結(jié)論可得 .
回顧：黃金分割線段.AD2=DCAC，也就是說點(diǎn)D將線段AC分為兩部分，其中較長的線段AD是較小線段CD與全線段AC的比例中項(xiàng).頂角36角的等腰三角形的底邊長是它腰長的黃金分割線段.
反思：解決方法.在推導(dǎo)a10與R關(guān)系時(shí)，輔助線角平分線是怎么想出來的.解決方法是復(fù)習(xí)等腰三角形的性質(zhì)、判定及相似三角形的有關(guān)知識.
練習(xí)P.165中練習(xí)1
(三)總結(jié)
(1)應(yīng)用解決實(shí)際問題;
(2)綜合代數(shù)列方程的方法證明了 .
(四)作業(yè)
教材P173中8、9、10、11、12.
探究活動(dòng)
已知下列圖形分別為正方形、正五邊形、正六邊形，試計(jì)算角 、 、 的大小.
探究它們存在什么規(guī)律?你能證明嗎?
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