解題的真正快樂來源于我們對數學題的深入探究以及對其內在美的體悟.許多經典試題的背后都隱藏著一段極為精彩的數學故事.現在，讓我們跟隨著這些題目，走一趟奇妙的歷史與文化之旅吧，

　　一、穿越時空的畢達哥拉斯形數

　　解后語 通過形數，畢達哥拉斯學派在世界數學史上首次建立了數和形之間的聯系，有效地印證了該學派“萬物皆數”的觀點.另外，畢達哥拉斯還給出了形數的'有趣性質，比如：兩個相鄰三角形數之和是正方形數，即N（n，3）+N（n+1，3）=N（n+1，4）.

　　畢達哥拉斯學派的學者甚至將這種數形結合的思想推廣到三維空間，從而構造出了立體數.例如，前四個三棱錐數為

　　時光倒流，2006年高考廣東理科卷中出現了一道以“三棱錐數”為背景的試題：

　??；f（n） =

　?。ù鸢赣胣表示）.

　　由此可見，畢達哥拉斯形數是多么神奇，充滿了無窮的魅力.

　　二、經久不衰的阿波羅尼斯圓

　　古希臘數學家阿波羅尼斯在他的巨著《圓錐曲線論》中有一個著名的幾何問題：“在平面上給定兩點A，B，設P點在同一平面上且滿足

　　，當λ>0且λ≠1時，P點的軌跡是一個圓.”這個圓我們就稱之為“阿波羅尼斯網”.

　　例2 （2008年高考江蘇卷）若AB=2，AC= BC，則S△ABC的最大值是

　　阿波羅尼斯圓在高考中已出現過多次，如2006年四川理科卷的第6題，201 3年江蘇卷的第17題，等等.

　　關于阿波羅尼斯的生平事跡記載并不多，但他的著作對數學的發展具有十分重大的影響.他是利用數學方法研究天文學（即用幾何的模型去解釋星球理論）的重要創始人，他與歐幾里得、阿基米德合稱為古稀臘亞歷山大前期三大數學家.

　　三、妙趣橫生的米勒問題

　　在《100個著名初等數學問題――歷史和解》這本書中有個著名的雷奇奧莫塔努斯（ Regiomontanus）的極大值問題：在地球表面的什么部位，一根垂直的懸桿呈現最長？（即在什么部位，可見角為最大？）

　　這個問題是德國數學家J.米勒于1471年向教授C.諾德爾提出的，這是載入古代數學史的第一個極值問題，它最初源于米勒對與欣賞美術作品有關的數學問題的思考.

　　例3 如圖5，有一壁畫，最高點A處離地面4m，最低點B處離地面2m，若從離地高1.5 m的C處觀賞它，則當視角θ最大時，C處離開墻壁

　　解后語 ：米勒問題通常也稱為最大視角問題，除了欣賞壁畫外，在生活中它還有其他的表現形式，比如，

　　在某場足球比賽中，已知足球場寬為90m，球門寬為7. 32 m，一名隊員沿邊路帶球突破時，距底線多遠處射球，所對球門的張角最大？

　　不僅如此，在水利工程測量和水文測驗的實際工作中，米勒問題對提高測量精度具有重大的指導作用.

　　下面給出一般化的“米勒問題”：

　　已知點A，B是∠MON的邊ON上的兩個定點，點C是邊OM上的動點，則當C在何處時，∠ACB最大？

　　上述問題的結論稱之為“米勒定理”：已知點A，B是∠MON的邊ON上的兩個定點，點C是邊OM上的動點，則當且僅當△ABC的外接圓與邊OM相切于點C時，∠ACB最大，此時OC=

　　米勒問題在高考題中頻頻亮相，常常以解析幾何、平面幾何和實際應用為背景進行考查.以下一題請同學們動筆練一練，從中感悟一下米勒問題的魅力，

　　綜合以上例子不難看出，許多“相貌平平”的數學題尤其是高考題竟然蘊含著如此濃厚的歷史氣息.因此，對于解題，解法的多樣性固然精彩，然而更重要的是要了解一些數學史方面的知識，理清著名數學問題的來龍去脈，使我們知其然，更知其所以然.

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