一教學(xué)內(nèi)容分析
正弦定理是《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書數(shù)學(xué)(必修5)》(人教版)第一章第一節(jié)的主要內(nèi)容它既是初中解直角三角形內(nèi)容的直接延拓也是三角函數(shù)一般知識和平面向量等知識在三角形中的具體運用是解可轉(zhuǎn)化為三角形計算問題的其它數(shù)學(xué)問題及生產(chǎn)生活實際問題的重要工具因此具有廣泛的應(yīng)用價值。為什么要研究正弦定理?正弦定理是怎樣發(fā)現(xiàn)的?其證明方法是怎樣想到的?還有別的證法嗎?這些都是教材沒有回答而確實又是學(xué)生所關(guān)心的問題。
本節(jié)課是正弦定理教學(xué)的第一課時其主要任務(wù)是引入并證明正弦定理在課型上屬于定理教學(xué)課。因此做好正弦定理的教學(xué)不僅能復(fù)習(xí)鞏固舊知識使學(xué)生掌握新的有用的知識體會聯(lián)系發(fā)展等辯證觀點而且通過對定理的探究能使學(xué)生體驗到數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生提出問題解決問題等研究性學(xué)習(xí)的能力。
二學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析
學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)了解直角三角形的內(nèi)容在必修4中又學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識和平面向量的有關(guān)內(nèi)容對解直角三角形三角函數(shù)平面向量已形成初步的知識框架這不僅是學(xué)習(xí)正弦定理的認(rèn)知基礎(chǔ)同時又是突破定理證明障礙的強有力的工具。正弦定理是關(guān)于任意三角形邊角關(guān)系的重要定理之一《課程標(biāo)準(zhǔn)》強調(diào)在教學(xué)中要重視定理的探究過程并能運用它解決一些實際問題可以使學(xué)生進(jìn)一步了解數(shù)學(xué)在實際中的應(yīng)用從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣也為學(xué)習(xí)正弦定理提供一種親和力與認(rèn)同感。
三設(shè)計思想
培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)學(xué)會探究是全面發(fā)展學(xué)生能力的重要前提是高中新課程改革的主要任務(wù)。如何培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)學(xué)會探究呢?建構(gòu)主義認(rèn)為：知識不是被動吸收的而是由認(rèn)知主體主動建構(gòu)的。這個觀點從教學(xué)的角度來理解就是：知識不是通過教師傳授得到的而是學(xué)生在一定的情境中運用已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗并通過與他人(在教師指導(dǎo)和學(xué)習(xí)伙伴的幫助下)協(xié)作主動建構(gòu)而獲得的建構(gòu)主義教學(xué)模式強調(diào)以學(xué)生為中心視學(xué)生為認(rèn)知的主體教師只對學(xué)生的意義建構(gòu)起幫助和促進(jìn)作用。本節(jié)正弦定理的教學(xué)將遵循這個原則而進(jìn)行設(shè)計。
四教學(xué)目標(biāo)
1知識與技能：通過對任意三角形的邊與其對角的關(guān)系的探索掌握正弦定理的`內(nèi)容及其證明方法。
2過程與方法：讓學(xué)生從已有的知識出發(fā),共同探究在任意三角形中邊與其對角的關(guān)系引導(dǎo)學(xué)生通過觀察歸納猜想證明由特殊到一般得到正弦定理等方法體驗數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程。
3情感態(tài)度與價值觀：在平等的教學(xué)氛圍中通過學(xué)生之間師生之間的交流合作和評價實現(xiàn)共同探究教學(xué)相長的教學(xué)情境。
五教學(xué)重點與難點
重點：正弦定理的發(fā)現(xiàn)和推導(dǎo)
難點：正弦定理的推導(dǎo)
教學(xué)準(zhǔn)備：制作多媒體課件學(xué)生準(zhǔn)備計算器直尺量角器。
六教學(xué)過程設(shè)計
?。ㄒ唬┰O(shè)置情境
教師：展示情景圖如圖1船從港口B航行到港口C測得BC的距離為
船在港口C卸貨后繼續(xù)向港口A航行由于船員的疏忽沒有測得CA距離如果船上有測角儀我們能否計算出AB的距離?
學(xué)生：思考提出測量角AC。
教師：若已知測得
如何計算AB兩地距離?
師生共同回憶解直角三角形①直角三角形中已知兩邊可以求第三邊及兩個角。②直角三角形中已知一邊和一角可以求另兩邊及第三個角。
教師引導(dǎo)：
是斜三角形能否利用解直角三角形精確計算AB呢?
設(shè)計意圖：興趣是最好的老師。如果一節(jié)課有良好的開頭那就意味著成功的一半。因此我通過從學(xué)生日常生活中的實際問題引入激發(fā)學(xué)生思維激發(fā)學(xué)生的求知欲引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題在解決問題后對特殊問題一般化得出一個猜測性的結(jié)論猜想培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般思想意識培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維能力。
?。ǘ?shù)學(xué)實驗驗證猜想
教師：給學(xué)生指明一個方向我們先通過特殊例子檢驗
是否成立舉出特例。
(1)在△ABC中ABC分別為
對應(yīng)的邊長a：b：c為1：1：1對應(yīng)角的正弦值分別為
引導(dǎo)學(xué)生考察
的關(guān)系。(學(xué)生回答它們相等)
(2)在△ABC中ABC分別為
對應(yīng)的邊長a：b：c為1：1：
對應(yīng)角的正弦值分別為
1;(學(xué)生回答它們相等)
(3)在△ABC中ABC分別為
對應(yīng)的邊長a：b：c為1：
?。?對應(yīng)角的正弦值分別為
1。(學(xué)生回答它們相等)(圖3)
教師：對于
呢?
學(xué)生：思考交流得出如圖4在Rt
ABC中設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,
則有
又
,
則
從而在直角三角形ABC中
教師：那么任意三角形是否有
呢?
借助于電腦與多媒體利用《幾何畫板》軟件演示正弦定理教學(xué)課件。邊演示邊引導(dǎo)學(xué)生觀察三角形形狀的變化與三個比值的變化情況。
結(jié)論：
對于任意三角形都成立。
設(shè)計意圖：通過《幾何畫板》軟件的演示使學(xué)生對結(jié)論的認(rèn)識從感性逐步上升到理性。
?。ㄈ┳C明猜想得出定理
師生活動：
教師：我們雖然經(jīng)歷了數(shù)學(xué)實驗多媒體技術(shù)支持對任意的三角形如何用數(shù)學(xué)的思想方法證明
呢?前面探索過程對我們有沒有啟發(fā)?學(xué)生分組討論每組派一個代表總結(jié)。(以下證明過程根據(jù)學(xué)生回答情況進(jìn)行敘述)
學(xué)生：思考得出
(1)在
中成立如前面檢驗。
(2)在銳角三角形中如圖5設(shè)
(3)在鈍角三角形中如圖6設(shè)
同銳角三角形證明可知
教師：我們把這條性質(zhì)稱為正弦定理：在一個三角形中各邊和它所對角的正弦的比相等即
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教師：還有其它證明方法嗎?
學(xué)生：思考得出分析圖形(圖7)對于任意△ABC由初中所學(xué)過的面積公式可以得出：
而由圖中可以看出：
等式
中均除以
后可得
即
教師邊分析邊引導(dǎo)學(xué)生同時板書證明過程。
在剛才的證明過程中大家是否發(fā)現(xiàn)三角形高
三角形的面積：
能否得到新面積公式
學(xué)生：
得到三角形面積公式
設(shè)計意圖：經(jīng)歷證明猜想的過程進(jìn)一步引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生利用已有的數(shù)學(xué)知識論證猜想力圖讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程。
?。ㄋ模├枚ɡ斫鉀Q引例
師生活動：
教師：現(xiàn)在大家再用正弦定理解決引例中提出的問題。
學(xué)生：馬上得出
在
中
?。ㄎ澹┝私饨馊切胃拍?/p>
設(shè)計意圖：讓學(xué)生了解解三角形概念形成知識的完整性。
教師：一般地把三角形的三個角
和它們的對邊
叫做三角形的元素已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形。
設(shè)計意圖：利用正弦定理重新解決引例讓學(xué)生體會用新的知識新的定理解決問題更方便更簡單激發(fā)學(xué)生不斷探索新知識的欲望。
?。┻\用定理解決例題
師生活動：
教師：引導(dǎo)學(xué)生從分析方程思想分析正弦定理可以解決的問題。
學(xué)生：討論正弦定理可以解決的問題類型：
(1)如果已知三角形的任意兩個角與一邊求三角形的另一角和另兩邊如
;
(2)如果已知三角形任意兩邊與其中一邊的對角求另一邊與另兩角如
。
師生：例1的處理先讓學(xué)生思考回答解題思路教師板書讓學(xué)生思考主要是突出主體教師板書的目的是規(guī)范解題步驟。
例1：在
中已知
解三角形。
分析已知三角形中兩角及一邊求其他元素第一步可由三角形內(nèi)角和為
求出第三個角C再由正弦定理求其他兩邊。
例2：在
中已知
解三角形。
例2的處理目的是讓學(xué)生掌握分類討論的數(shù)學(xué)思想可先讓中等學(xué)生講解解題思路其他同學(xué)補充交流。
學(xué)生：反饋練習(xí)(教科書第5頁的練習(xí))
用實物投影儀展示學(xué)生中解題步驟規(guī)范的解答。
設(shè)計意圖：自己解決問題提高學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情和動力使學(xué)生體驗到成功的愉悅感變要我學(xué)為我要學(xué)我要研究的主動學(xué)習(xí)。
?。ㄆ撸﹪L試小結(jié)：
教師：提示引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容。
學(xué)生：思考交流歸納總結(jié)。
師生：讓學(xué)生嘗試小結(jié)教師及時補充要體現(xiàn)：
(1)正弦定理的內(nèi)容(
)及其證明思想方法。
(2)正弦定理的應(yīng)用范圍：①已知三角形中兩角及一邊求其他元素;②已知三角形中兩邊和其中一邊所對的角求其他元素。
(3)分類討論的數(shù)學(xué)思想。
設(shè)計意圖：通過學(xué)生的總結(jié)培養(yǎng)學(xué)生的歸納總結(jié)能力和語言表達(dá)能力。
?。ò耍┳鳂I(yè)設(shè)計
作業(yè)：第10頁[習(xí)題1.1]A組第12題。
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