《中位數和眾數》教學反思
今天用多媒體上了《中位數和眾數》，雖然沒有什么大問題和疑問，但還是有一些知識需要整理和補充。以下是我在教學過后從網絡上學習的內容，雖不是我所寫，但是卻是我所想。中位數和眾數是根據《數學課標》的要求新增加的教學內容。在平均數不能有效地反映出一組數據的基本特點時，往往選用眾數或中位數來表達數據的特點。
平均數、中位數、眾數這三個統計量雖然都代表一組數據典型水平或集中趨勢的量，但是它們反映數據的特征有所不同。
下面談談這三種統計量之間的異同點：
一、平均數、中位數、眾數的相同點．
平均數、眾數和中位數都叫統計量，它們在統計中，有著廣泛的應用。平均數、中位數、眾數都是描述數據的集中趨勢的“特征數”，平均數、中位數和眾數從不同側面給我們提供了同一組數據的面貌，平均數和中位數都有單位(眾數如果表示的是數時，也有單位)；它們的單位和本組數據的單位相同。三者都可以作為一組數據的代表。
二、平均數、中位數、眾數的不同點
(一)三者的定義及優缺點不同。
1．平均數。
①平均數的定義及特點。
小學數學里所講的平均數一般是指算術平均數，也就是一組數據的和除以這組數據的個數所得的商。
在統計中算術平均數常用于表示統計對象的一般水平，它是描述數據集中程度的一個統計量。既可以用它來反映一組數據的一般情況(用平均數表示一組數據的情況，有直觀、簡明的特點)，也可以用它進行不同組數據的比較，可以看出組與組之間的差別。平均數反映一組數據的平均水平，與這組數據中的每個數都有關系；用平均數作為一組數據的代表，比較可靠和穩定，它與這組數據中的每一個數都有關系，所有的數據都參加運算，對這些數據所包含的信息的反映最為充分，因而應用最為廣泛，特別是在進行統計推斷時有重要作用，但計算較繁瑣，并且易受極端數據的影響。在平均數中有一種去尾平均數，它是將一組數據的其中一個最大值和一個最小值去掉后其余數值的平均數．它保留了平均數的集中趨勢代表性強的優點，又具有中位數的可排除個別數據變動較大所帶來的影響的特點，因而當一組數據的個數較少、且可能個別數據變動較大時，常用去尾平均數去描述一組數據的集中趨勢．例如，體操比賽時給每個運動員評分，實際上用的就是去尾平均數：若干個裁判員同時給一個運動員完成的動作評分；然后在去掉其中一個最高分和一個最低分后，將其余分數的平均數作為該運動員的得分。
②平均數的優點。
反映一組數的總體情況比中位數、眾數更為可靠、穩定，它也是學生今后學習計算離差、相關和統計推斷的基礎。
③平均數的缺點。
平均數需要整批數據中的每一個數據都加人計算，因此，在數據有個別缺失的情況下，則無法準確計算。一組數據的每一個數據都要參加計算才能求出，特別是當一組數量較大的數據，其計算的工作量也較大。平均數易受極端數據的影響，從而使人對平均數產生懷疑。這也就是為什么在許多競賽場合下對評委亮分后的成績分數，要去掉一個最高分和一個最低分，爾后再計算平均數的一種考慮。
2．中位數。
①中位數的定義及特點：一組數據按大小順序排列，位于最中間的一個數據(當有偶數個數據時，為最中間兩個數據的平均數)叫做這組數據的中位數。用中位數作為一組數據的代表，可靠性不高，但受極端數據影響的可能性小一些，有利于表達這組數據的“集中趨勢”。
②中位數的優點。
簡單明了，很少受一組數據的極端值的影響。
③中位數的缺點。
中位數不受其數據分布兩端數據的影響，因此中位數缺乏靈敏性，不能充分利用所有數據的信息。當觀測數據已經分組或靠近中位數附近有重復數據出現時，則難以用簡單的方法確定中位數。
3．眾數。
①眾數的定義及特點。
幾組數據中出現次數最多的那個數據，叫做這批數據的眾數。用眾數作為一組數據的代表，可靠性較差，但眾數不受極端數據的影響，并且求法簡便，當一組數據中個別數據變動較大時，適宜選擇眾數來表示這組數據的“集中趨勢”。一組數據中某些數據多次重復出現時，眾數往往是人們尤為關心的一個量，但各個數據的重復次數大致相等時，眾數往往沒有特別意義。如果一組數據中出現頻數(一組數據中每個數據出現的次數成為頻數)最多的是并列的兩個數，不是用這兩個數的平均數做它們的眾數，而是說這兩個值都是它們的眾數。如果一組數據中沒有哪一個數值出現的次數比別的多，我們就說它們沒有眾數。沒有眾數，不能說眾數為O。眾數也可能不是數。
例如：2002年8月，某書店各類圖書銷售情況如下圖：8月份書店售出各類圖書的眾數是——。
回答應該是：8月份書店售出各類圖書眾數是文化藝術類。
②眾數的優點。
比較容易了解一組數據的.大致情況，不受極端數據的影響，并且求法簡便。
③眾數的缺點。
當一組數據變化很大時，它只能用來大略地估計一組數據的集中趨勢。
（二)三者的計算方法不同。
1．求平均數時，就用各數據的總和除以數據的個數，得數就是這組數據的平均數。
2．求中位數時，首先要先排序(從小到大或從大到小)，然后根據數據的個數，當數據為奇數個時，最中間的一個數就是中位數；當數據為偶數個時，最中間兩個數的平均數就是中位數。
3．眾數由所給數據可直接求出，出現次數最多的數據就是眾數。
(三)三者的適用范圍不同。
1．平均數的計算中要用到每一個數據，因而它反映的是一組數據的總體水平，選擇特征數表示一組數據的集中趨勢時，我們用得最多的是平均數，用它作為一組數據的代表，比較可靠和穩定，它與這組數據中的每一個數據都有關系，能夠最為充分地反映這組數據所包含的信息，在進行統計推斷時有重要的作用，但容易受到極端數據的影響。在大多數情況下人們喜歡使用平均數這一指標來代表一批數據或用它來反映大量事物的整體水平。
例如：用平均分反映一個班級學生的某項能力測驗結果；用平均分來集中概括一些競賽場合下各位評委對參賽選手進行評分的總結果等等。
2．中位數是一組數據的中間量，代表了中等水平。中位數在一組數據的數值排序中處于中間位置，在統計學分析中扮演著“分水嶺”的角色，由中位數可以對事物的大體趨勢進行判斷和掌控。在個別的數據過大或過小的情況下，“平均數”代表數據整體水平是有局限性的，也就是說個別極端數據是會對平均數產生較大的影響的，而對中位數的影響則不那么明顯。
所以，這時用中位數來代表整體數據更合適。即：如果在一組相差較大的數據中，用中位數作為表示這組數據特征的統計量往往更有意義。
例如：甲乙兩學生射擊的環數如下：甲：10環、10環、9環、3環。乙：9環、5環、3環、2環。請你試一試如何評價他們的射擊成績。這里甲有2個10環，1個9環，一個意外的3環，對于這個3環，可以看作是一個奇異值或極端數據，如用平均數來評價甲的總成績就不能客觀反映甲的射擊環數主要是9環與10環的事實。由于數據中有一個極低數值出現，故計算平均數時就一下子把分數降下來了。采用中位數9．5環較合適。乙的射擊成績中5環以下有3次，還有一次是意外的9環，對這組數據，如計算平均數后是5環，但用5環來代表乙的成績在一定程度上偏高估計了乙的總體成績，所以采用中位數4環比較合宜。
3．眾數代表的是一組數據的多數水平，若一組數據中眾數的頻數比較大，并且與其他數據的頻數相差較大時，我們一般選用眾數。眾數反映了一組數據的集中趨勢，當眾數出現的次數越多，它就越能代表這組數據的整體狀況，并且它能比較直觀地了解到一組數據的大致情況。但是，當一組數據大小不同，差異又很大時，就很難判斷眾數的準確值了。此外，當一組數據的那個眾數出現的次數不具明顯優勢時，用它來反映一組數據的典型水平是不大可靠的。眾數與各組數據出現的頻數有關，不受個別數據的影響，有時是我們最為關心的數據。
例如：，某班42名同學，年齡11歲的有24個人，年齡10歲的有8個人，年齡12歲的有6個人，年齡超過12歲的有4個人。則該班同學年齡分布的眾數為11歲，它表明該班年齡為11歲的同學最多。(注意眾數不是24人)
總之，平均數、中位數和眾數從不同的側面向我們提供了一組數據的面貌，我們可以把這三種特征數作為一組數據的代表，但它們所表示的意義是不同的。
選用它們表示一組數據的集中趨勢時，一般是遵循“多數原則”，即哪種特征數能代表這組數據的絕大多數，正確選用合適的特征數來說明、評價、分析實際問題，避免誤用和濫用。關于平均數、中位數、眾數的知識我們可以總結為：
分析數據平中眾，比較接近選平均，相差較大看中位，頻數較大用眾數；所有數據定平均，個數去除數據和，即可得到平均數；大小排列知中位；整理數據順次排，單個數據取中問，雙個數據兩平均；頻數最大是眾數。
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