趣味數學故事之克萊因瓶

　　在1882年，著名數學家菲立克斯·克 萊因(Felix Klein)發現了后來以他的名字命 名的著名"瓶子"。這是一個象球面那樣 封閉的（也就是說沒有邊）曲面，但是它 卻只有一個面。在圖片上我們看到，克萊 因瓶的確就象是一個瓶子。但是它沒有瓶 底，它的瓶頸被拉長，然后似乎是穿過了 瓶壁，最后瓶頸和瓶底圈連在了一起。如 果瓶頸不穿過瓶壁而從另一邊和瓶底圈相 連的話，我們就會得到一個輪胎面。

　　我們可以說一個球有兩個面--外面和內面，如果一只螞蟻在一個球的外表面上爬行，那么如果它不在球面上咬一個洞，就無法爬到內表面上去。輪胎面也是一樣，有內外表面之分。但是克萊因瓶卻不同，我們很容易想象，一只爬在"瓶外"的螞蟻，可以輕松地通過瓶頸而爬到"瓶內"去--事實上克萊因瓶并無內外之分！在數學上，我們稱克萊因瓶是一個不可定向的二維緊致流型，而球面或輪胎面是可定向的二維緊致流型。

　　如果我們觀察克萊因瓶的圖片，有一點似乎令人困惑--克萊因瓶的瓶頸和瓶身是相交的，換句話說，瓶頸上的某些點和瓶壁上的某些點占據了三維空間中的同一個位置。但是事實卻非如此。事實是：克萊因瓶是一個在四維空間中才可能真正表現出來的曲面，如果我們一定要把它表現在我們生活的三維空間中，我們只好將就點，只好把它表現得似乎是自己和自己相交一樣。事實上，克萊因瓶的瓶頸是穿過了第四維空間再和瓶底圈連起來的，并不穿過瓶壁。這是怎么回事呢？

　　我們用扭節來打比方。看底下這個圖形，如果我們把它看作平面 上的曲線的話，那么它似乎自身相交，再一看似乎又斷成了三截。但其實很容易明白，這個圖形其實是三維空間中的曲線，它并不和自己相交，而且是連續不斷的一條曲線。在平面上一條曲線自然做不到這樣，但是如果有第三維的話，它就可以穿過第三維來避開和自己相交。只是因為我們要把它畫在二維平面上時，只好將就一點，把它畫成相交或者斷裂了的樣子。克萊因瓶也一樣，這是一個事實上處于四維空間中的曲面。在我們這個三維空間中，即使是最高明的能工巧匠，也不得不把它做成自身相交的模樣；就好象最高明的畫家，在紙上畫扭結的時候也不得不把它們畫成自身相交的模樣。題圖就是一個用玻璃

　　吹制的克萊因瓶。

　　大家大概都知道莫比烏斯帶。你可以把一條紙帶的一段扭180度，再和另一端粘起來來得到一條莫比烏斯帶的模型。這也是一個只有一 莫比烏斯帶個面的曲面，但是和球面、輪胎面和克萊因瓶不同的是，它有邊（注意，它只有一條邊）。如果我們把兩條莫比烏斯帶沿著它們唯一的邊粘合起來，你就得到了一個克萊因瓶（當然不要忘了，我們必須在四維空間中才能真正有可能完成這個粘合，否則的話就不得不把紙撕破一點）。同樣地，如果把一個克萊因瓶適當地剪開來，我們就能得到兩條莫比烏斯帶 除了我們上面看到的克萊因瓶的模樣，還有一種不太為人所知的"８字形"克萊因瓶。它看起來和上面的曲面完全不同，但是在四維空間中它們其實就是同一個曲面--克萊因瓶。