結(jié)構(gòu)

　　許多如數(shù)、函數(shù)、集合等數(shù)學(xué)對(duì)象都有著內(nèi)含的結(jié)構(gòu)。這些對(duì)象的結(jié)構(gòu)性質(zhì)被探討于群、環(huán)、體及其他本身即為此物件的抽象系統(tǒng)中。此為抽象代數(shù)的領(lǐng)域。在此有一個(gè)很重要的概念，即向量，且廣義化至向量空間，并研究于線性代數(shù)中。向量的研究結(jié)合了數(shù)學(xué)的三個(gè)基本領(lǐng)域：數(shù)量、結(jié)構(gòu)及空間。向量分析則將其擴(kuò)展至第四個(gè)基本的領(lǐng)域內(nèi)，即變化。

　　空間

　　空間的研究源自于歐式幾何。三角學(xué)則結(jié)合了空間及數(shù)，且包含有非常著名的勾股定理。現(xiàn)今對(duì)空間的研究更推廣到了更高維的幾何、非歐幾何及拓?fù)鋵W(xué)。數(shù)和空間在解析幾何、微分幾何和代數(shù)幾何中都有著很重要的角色。在微分幾何中有著纖維叢及流形上的計(jì)算等概念。在代數(shù)幾何中有著如多項(xiàng)式方程的解集等幾何對(duì)象的描述，結(jié)合了數(shù)和空間的概念;亦有著拓?fù)淙旱难芯浚Y(jié)合了結(jié)構(gòu)與空間。李群被用來(lái)研究空間、結(jié)構(gòu)及變化。

　　基礎(chǔ)

　　為了搞清楚數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)邏輯和集合論等領(lǐng)域被發(fā)展了出來(lái)。德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾(1845-1918)首創(chuàng)集合論，大膽地向“無(wú)窮大”進(jìn)軍，為的是給數(shù)學(xué)各分支提供一個(gè)堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，而它本身的內(nèi)容也是相當(dāng)豐富的，提出了實(shí)無(wú)窮的思想，為以后的數(shù)學(xué)發(fā)展作出了不可估量的貢獻(xiàn)。

　　集合論在20世紀(jì)初已逐漸滲透到了各個(gè)數(shù)學(xué)分支，成為了分析理論，測(cè)度論，拓?fù)鋵W(xué)及數(shù)理科學(xué)中必不可少的工具。20世紀(jì)初，數(shù)學(xué)家希爾伯特在德國(guó)傳播了康托爾的思想，把集合論稱為“數(shù)學(xué)家的樂(lè)園”和“數(shù)學(xué)思想最驚人的產(chǎn)物”。英國(guó)哲學(xué)家羅素把康托的工作譽(yù)為“這個(gè)時(shí)代所能夸耀的最巨大的工作”。