結(jié)構(gòu)

　　許多如數(shù)、函數(shù)、集合等數(shù)學對象都有著內(nèi)含的結(jié)構(gòu)。這些對象的結(jié)構(gòu)性質(zhì)被探討于群、環(huán)、體及其他本身即為此物件的抽象系統(tǒng)中。此為抽象代數(shù)的領域。在此有一個很重要的概念，即向量，且廣義化至向量空間，并研究于線性代數(shù)中。向量的研究結(jié)合了數(shù)學的三個基本領域：數(shù)量、結(jié)構(gòu)及空間。向量分析則將其擴展至第四個基本的領域內(nèi)，即變化。

　　空間

　　空間的研究源自于歐式幾何。三角學則結(jié)合了空間及數(shù)，且包含有非常著名的勾股定理。現(xiàn)今對空間的研究更推廣到了更高維的幾何、非歐幾何及拓撲學。數(shù)和空間在解析幾何、微分幾何和代數(shù)幾何中都有著很重要的角色。在微分幾何中有著纖維叢及流形上的計算等概念。在代數(shù)幾何中有著如多項式方程的解集等幾何對象的描述，結(jié)合了數(shù)和空間的概念;亦有著拓撲群的研究，結(jié)合了結(jié)構(gòu)與空間。李群被用來研究空間、結(jié)構(gòu)及變化。

　　基礎

　　為了搞清楚數(shù)學基礎，數(shù)學邏輯和集合論等領域被發(fā)展了出來。德國數(shù)學家康托爾(1845-1918)首創(chuàng)集合論，大膽地向“無窮大”進軍，為的是給數(shù)學各分支提供一個堅實的基礎，而它本身的內(nèi)容也是相當豐富的，提出了實無窮的思想，為以后的數(shù)學發(fā)展作出了不可估量的貢獻。

　　集合論在20世紀初已逐漸滲透到了各個數(shù)學分支，成為了分析理論，測度論，拓撲學及數(shù)理科學中必不可少的工具。20世紀初，數(shù)學家希爾伯特在德國傳播了康托爾的思想，把集合論稱為“數(shù)學家的樂園”和“數(shù)學思想最驚人的產(chǎn)物”。英國哲學家羅素把康托的工作譽為“這個時代所能夸耀的最巨大的工作”。