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等差數列求和方法總結

總結 時間:2021-08-31 手機版

  求數列的前n項和要借助于通項公式,即先有通項公式,再在分析數列通項公式的基礎上,或分解為基本數列求和,或轉化為基本數列求和。當遇到具體問題時,要注意觀察數列的特點和規律,找到適合的方法解題。下面是小編整理的相關內容,歡迎閱讀參考!

  一.用倒序相加法求數列的前n項和

  如果一個數列{an},與首末項等距的兩項之和等于首末兩項之和,可采用把正著寫與倒著寫的兩個和式相加,就得到一個常數列的和,這一求和方法稱為倒序相加法。我們在學知識時,不但要知其果,更要索其因,知識的得出過程是知識的源頭,也是研究同一類知識的工具,例如:等差數列前n項和公式的推導,用的就是“倒序相加法”。

  例題1:設等差數列{an},公差為d,求證:{an}的前n項和Sn=n(a1+an)/2

  解:Sn=a1+a2+a3+...+an   ①

  倒序得:Sn=an+an-1+an-2+…+a1  ②

  ①+②得:2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1)

  又∵a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1

  ∴2Sn=n(a2+an)  Sn=n(a1+an)/2

  二.用公式法求數列的前n項和

  對等差數列、等比數列,求前n項和Sn可直接用等差、等比數列的前n項和公式進行求解。運用公式求解的注意事項:首先要注意公式的應用范圍,確定公式適用于這個數列之后,再計算。

  三.用裂項相消法求數列的前n項和

  裂項相消法是將數列的一項拆成兩項或多項,使得前后項相抵消,留下有限項,從而求出數列的前n項和。

  四.用錯位相減法求數列的前n項和

  錯位相減法是一種常用的數列求和方法,應用于等比數列與等差數列相乘的形式。即若在數列{an·bn}中,{an}成等差數列,{bn}成等比數列,在和式的兩邊同乘以公比,再與原式錯位相減整理后即可以求出前n項和。

  五.用迭加法求數列的前n項和

  迭加法主要應用于數列{an}滿足an+1=an+f(n),其中f(n)是等差數列或等比數列的條件下,可把這個式子變成an+1-an=f(n),代入各項,得到一系列式子,把所有的式子加到一起,經過整理,可求出an ,從而求出Sn。

  六.用分組求和法求數列的前n項和

  分組求和法就是對一類既不是等差數列,也不是等比數列的數列,若將這類數列適當拆開,可分為幾個等差、等比或常見的數列,然后分別求和,再將其合并。

  七.用構造法求數列的前n項和

  構造法就是先根據數列的結構及特征進行分析,找出數列的通項的特征,構造出我們熟知的基本數列的通項的特征形式,從而求出數列的前n項和。

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