高等數學極限求法總結
函數極限的求法
函數極限可以分成而運用ε-δ定義更多的見諸于已知的極極限值的證明題中。掌握這類證明對初學者深刻理解運用極限定義大有裨益。 限為例，f(x) 在點以A為極限的定義是： 對于任意給定的正數ε（無論它多么小），總存在正數，使得當x
滿足不等式時，對應的f(x)函數值都滿足不等式：，那么常數A就叫做函數f(x)當 x→x。時的極限。
1.利用極限的四則運算法則 ：
極限四則運算法則的條件是充分而非必要的 ，因此，利用極限四則運算法則求函數極限時，必須對所給的函數逐一進行驗證它是否滿足極限四則運算法則條件 ，滿足條件者。方能利用極限四則運算法則進行求之。不滿足條件者 ，不能直接利用極限四則運算法則求之。但是，井非不滿足極限四則運算法則條件的函數就沒有極限 ，而是需將函數進行恒等變形 ，使其符合條件后 ，再利用極限四則運算法則求之。而對函數進行恒等變形時，通常運用一些技巧如拆項、分子分母同時約去零因子、分子分母有理化、通分、變量替換等等。 例 1
求 lim( x 2 3x + 5).
x→ 2
解： lim( x 2 3x + 5) = lim x 2 lim 3x + lim 5
= (lim x) 2 3 lim x + lim 5
= 2 2 3 2 + 5 = 3.
x→2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2
2.利用洛必達法則
洛必達(L 'Hopital)法則是在一定條件下通過分子分母分別求導再求極限來確定未定式值的方法.簡單講就是，在求一個含分式的函數的極限時，分別對分子和分母求導，在求極限，和原函數的極限是一樣的。一般用在求導后為零比零或無窮比無窮的類型。
利用洛必達求極限應注意以下幾點：
設函數f(x)和F(x)滿足下列條件：
（1）x→a時,lim f(x)=0,lim F(x)=0;
（2）在點a的某去心鄰域內f(x)與F(x)都可導,且F(x)的導數不等于0;
（3）x→a時,lim(f'(x)/F'(x))存在或為無窮大
則 x→a時,lim(f(x)/F(x))=lim(f'(x)/F'(x))
例1：
1-cosx = 1-{1-2[sin(x/2)]^2} = 2[sin(x/2)]^2
xsinx = 2xsin(x/2)cos(x/2)
原式= lim 2[sin(x/2)]^2 / [2xsin(x/2)cos(x/2)] = tgx / x
對分子分母同時求導（洛必達法則）
(tgx)' = 1 / (cosx)^2
(x)' = 1
原式 = lim 1/(cosx)^2
當 x --> 0 時,cosx ---> 1
原式 = 1
3.利用兩個重要極限：
應用第一重要極限時 ，必須同時滿足兩個條件：
① 分子、分母為無窮小 ，即極限為 0 ；
② 分子上取正弦 的角必須與分母一樣。
應用第二重要極限時 ，必須同時滿足四個條件：
①帶有“1”；
② 中間是“+ ”號 ；
③“+ ”號后面跟無窮小量 ；
④指數和“+ ”號后面的數要互為倒數。
例1：
求lim(arcsinx/x),x趨于0
解A.令x=sint,則當t 趨于0時,x趨于0,且arcsinx=t
所以 B.lim(arcsinx/x),x趨于0.=lim(t/sint),t趨于0=1
4.利用等價無窮小代換定理
利用此定理求函數的極限時 ，一般只在以乘除形式出現時使用。若以和或差形式出現時，不要輕易代換 ，因為經此代換后 ，往往會改變無窮小之比的階數。要用好等價無窮小代換定理 ，必須熟記一些常 用的等價無窮小 。
例1
lim√(1-cosx)/tanx
=lim-√2sin(x/2)/tanx
=lim-√2/2x/x
=-√2/2
lim√(1-cosx)/tanx
=lim√2sin(x/2)/tanx
=lim√2/2x/x
=√2/2
因為lim√(1-cosx)/tanx≠lim=√(1-cosx)/tanx
所以極限不存在
5.柯西收斂準則
數列{Xn}收斂的充分必要條件是對于任意給定的正數ε存在著這樣的正整數N使得當m>N,n>N時就有|Xn-Xm|<ε這個準則的幾何意義表示，數列{Xn}收斂的充分必要條件是：該數列中足夠靠后的.任意兩項都無限接近。
例1
證明：xn=1-1/2+1/3-1/4+......+ [(-1)^(n+1)]/n 有極限
證：
對于任意的m,n屬于正整數，m>n
|xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m |
當m-n為奇數時 |xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m |
<1/n(n+1)+1/(n+1)(n+2)+......+1/(m-1)m
=(1/n-1/m)→0
由柯西收斂原理得{xn}收斂
當m-n為偶數時 |xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m |
<1/n(n+1)+1/(n+1)(n+2)+......+1/(m-2)(m-1)-1/m
=(1/n-1/(m-1)-1/m）→0
由柯西收斂原理得{xn}收斂
綜上{xn}收斂，即{xn}存在極限
6.利用函數連續性：
（就是直接將趨向值帶出函數自變量中，此時要要求分母不能為0）
描述函數的一種連綿不斷變化的狀態，即自變量的微小變動只會引起函數值的微小變動的情況。確切說來，函數在某點連續是指：當自變量趨于該點時，函數值的極限與函數在該點所取的值一致。
例1
設 f（x）=xsin 1/x + a,x<0，b+1,x=0，x^2-1,x<0，試求：
當a，b為何值時，f（x）在x=0處的極限存在？
當a，b為何值時，f（x）在x=0處連續？
注：f（x）=xsin 1/x +a, x< 0
b+1, x=0
X^2-1, x>0
解：f(0)＝b+1
左極限：lim(x→0-) f(x)＝lim(x→0-) (xsin(1/x)＋a)＝0+a＝a
左極限：lim(x→0+) f(x)＝lim(x→0+) (x^2-1)＝0-1＝-1
f(x)在x＝0處連續，則lim(x→0-) f(x)＝lim(x→0+) f(x)＝f(0)，
所以a＝-1＝b+1，
所以a＝-1，b＝-2
7.利用等價無窮小量代換求極限
tanxsinx例 8 求極限lim． x0sinx3
解 由于tanxsinxsinx1cosx，而 cosx
x2
sinx~xx0，1cosx~x0，sinx3~x3x02
故有
x2
xtanxsinx11． limlimx0x0cosxsinx3x32
注 在利用等價無窮小量代換求極限時，應注意只有對所求極限式中相乘或相除的因式才能用等價無窮小量替代，而對極限式中的相加或相減部分則不能隨意替代，如在例題中，若因有tanx~xx0，sinx~xx0，而推出
limtanxsinxxxlim0， x0x0sinx3sinx3
則得到的式錯誤的結果．
附 常見等價無窮小量
x2
sinx~xx0，tanx~xx0，1cosx~x0， 2
arcsinx~xx0，arctanx~xx0，ex1~xx0，
ln1x~xx0，1x1~xx0．
8 利用洛比達法則求極限
0洛比達法則一般被用來求型不定式極限及型不定式極限．用此種方法求極限要求在0
點x0的空心領域U
例1
求極限lim0x0內兩者都可導，且作分母的函數的導數不為零． 1cosx． xtan2x
xx解 由于lim1cosxlimtan2x0，且有
1cosx'sinx，tan2x'2tanxsec2x0，
由洛比達法則可得
lim1cosx xtan2x
xlisinx 22tanxsexc
cos3xlimx21． 2
9.利用定義求極限
1．f'xlimxx0fxfx0， xx0
fx0hfx0． h2．f'x0limh0
其中h是無窮小，可以是xxxx0，x的函數或其他表達式．
例1
求極限x0p0,q0．
0 分析 此題是x0時型未定式，在沒有學習導數概念之前，常用的方法是消去分母0
中的零因子，針對本題的特征，對分母分子同時進行有理化便可求解．但在學習了導數的定義式之后，我們也可直接運用導數的定義式來求解．
解 令f
xg
x 則
x0fxf0
lim x0gxg0x0
f'0g'0p． q
10. 利用歸結原則求極限
歸結原則設f在U0x0;'內有定義，limfx存在的充要條件是：對任何含于xx0
U0x0;'且以x0為極限的數列xn，極限limfxn都存在且相等． n
例1 11求極限lim12． nnn
x1分析 利用復合函數求極限，令ux12x
x1解 令ux12x
nnnx2x1，vxx1求解． xx2x1，vxx1則有 xlimuxe；limvx1，
由冪指函數求極限公式得
vx11lim12limuxe， xxxxx
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