數學歸納法證明的步驟

實用文時間：2021-08-31 手機版

數學歸納法證明的步驟

　　數學歸納法是一種數學證明方法，通常被用于證明某個給定命題在整個（或者局部）自然數范圍內成立。以下是小編精心準備的數學歸納法證明的步驟，大家可以參考以下內容哦！

　　基本步驟

　　（一）第一數學歸納法：

　　一般地,證明一個與自然數n有關的命題P(n）,有如下步驟：

　　（1）證明當n取第一個值n0時命題成立.n0對于一般數列取值為0或1,但也有特殊情況；

　　（2）假設當n=k（k≥n0,k為自然數）時命題成立,證明當n=k+1時命題也成立.

　　綜合（1）（2）,對一切自然數n（≥n0）,命題P(n）都成立.

　　（二）第二數學歸納法：

　　對于某個與自然數有關的命題P(n）,

　　（1）驗證n=n0時P(n）成立；

　　（2）假設n0≤nn0）成立,能推出Q(k）成立,假設 Q(k）成立,能推出 P(k+1）成立；

　　綜合（1）（2）,對一切自然數n（≥n0）,P(n）,Q(n）都成立.

　　原理

　　最簡單和常見的數學歸納法是證明當n等于任意一個自然數時某命題成立。證明分下面兩步：

　　證明當n= 1時命題成立。

　　假設n=m時命題成立，那么可以推導出在n=m+1時命題也成立。（m代表任意自然數）

　　這種方法的原理在于：首先證明在某個起點值時命題成立，然后證明從一個值到下一個值的'過程有效。當這兩點都已經證明，那么任意值都可以通過反復使用這個方法推導出來。把這個方法想成多米諾效應也許更容易理解一些。例如：你有一列很長的直立著的多米諾骨牌，如果你可以：

　　證明第一張骨牌會倒。

　　證明只要任意一張骨牌倒了，那么與其相鄰的下一張骨牌也會倒。

　　解題要點

　　數學歸納法對解題的形式要求嚴格，數學歸納法解題過程中，

　　第一步：驗證n取第一個自然數時成立

　　第二步：假設n=k時成立，然后以驗證的條件和假設的條件作為論證的依據進行推導，在接下來的推導過程中不能直接將n=k+1代入假設的原式中去。

　　最后一步總結表述。

　　需要強調是數學歸納法的兩步都很重要，缺一不可，否則可能得到下面的荒謬證明：

　　證明1：所有的馬都是一種顏色

　　首先，第一步，這個命題對n=1時成立，即，只有1匹馬時，馬的顏色只有一種。

　　第二步，假設這個命題對n成立，即假設任何n匹馬都是一種顏色。那么當我們有n+1匹馬時，不妨把它們編好號：

　　1, 2, 3……n, n+1

　　對其中（1、2……n）這些馬，由我們的假設可以得到，它們都是同一種顏色；

　　對（2、3……n、n+1）這些馬，我們也可以得到它們是一種顏色；

　　由于這兩組中都有（2、3、……n）這些馬，所以可以得到，這n+1種馬都是同一種顏色。

　　這個證明的錯誤來于推理的第二步：當n=1時，n+1=2，此時馬的編號只有1、2，那么分的兩組是（1）和（2）——它們沒有交集，所以第二步的推論是錯誤的。數學歸納法第二步要求n→n+1過程對n=1，2，3……的數都成立，而上面的證明就好比多米諾骨牌的第一塊和第二塊之間間隔太大，推倒了第一塊，但它不會推倒第二塊。即使我們知道第二塊倒下會推倒第三塊等等，但這個過程早已在第一和第二塊之間就中斷了。

　　證明2：舉例證明下面的定理

　　——等差數列求和公式

　　第一步，驗證該公式在 n = 1 時成立。即有左邊=1，右邊=

　　=1，所以這個公式在n = 1時成立。

　　第二步，需要證明假設n = m 時公式成立，那么可以推導出n = m+1 時公式也成立。步驟如下：

　　假設n = m 時公式成立，即

　　（等式1）

　　然后在等式兩邊同時分別加上m + 1 得到

　　（等式2）

　　這就是n = m+1 時的等式。我們下一步需要根據等式1證明等式2 成立。通過因式分解合并，等式2的右邊

　　也就是

　　這樣我們就完成了由n=m成立推導出n=m+1成立的過程，證畢。