動作智慧根源的研究論文

　　一、引言

　　近半個世紀以來，皮亞杰心理學影響著世界各國的中小學教學，尤其是中小學數學教學。皮亞杰指出：“動作是智慧的根源”，①任何靜態的數學概念都隱含著認知主體的內在動作，數學運算是一種廣義的動作。②這些觀念為數學課堂教學所采納，目前小學數學普遍采取動手操作（或以直觀方式演示有關操作）的方法。

　　然而，對于這些在教學實踐領域中早已被采用的觀念與方法，卻缺乏深入的研究，許多問題都停留在知其然不知其所以然的層面——我們知道數學運算是一種廣義的動作；但它除了是一種動作之外，還存在哪些區別于一般動作的規定性？同樣我們也知道“動作操作”會增進兒童的數學知識與智慧；但能否認為任意的動手操作都有益于兒童智慧的發展？在數學課堂教學中如何指導兒童動手操作？

　　本文試圖就以上問題作些探討，以期引起更深入的研究，并期望對進一步改進小學數學課堂教學有所裨益。

　　二、數學運算的內在規定性

　　1.反身性數學運算“甚至在其較高的表現中，也是正在采取行動與協調行動，不過是以一種內在的與反省的形式進行的罷了……”③這里“反省”與反身、反思是同義的。

　　皮亞杰將個體認知活動劃歸為兩類。一類是對客體的認識；另一類是對主體自身動作所進行的反思。前者帶來關于客體的知識；后者帶來數理邏輯知識。

　　［實例］一個兒童擺弄10個石子，他可以掂一掂以了解其重量；可以摸一摸以了解其表面的光滑度。“重量”與“光滑度”是關于對象（石子）本身的知識。此外，兒童還有另一類動作，他將10個石子排列成不同的形狀，沿著不同的方向點數它們，其總數“10”總是不變的。這里，兒童將手指一一地（不重復也不遺漏）點向10個石子，是具體動作；從這種具體動作中認識到總數“10”總是不變，則是一種反思，是反過來對自身的具體動作進行思考。具體動作可以有很多種（可以從不同的石子開始，可以沿著不同的方向進行），但總數的“10”卻是恒定的。只有通過反思，體會到這種“恒定”，兒童才真正學會了計數。

　　這里我們看到兒童進行數學操作與運算離不開具體動作，但具體動作之后的反思比具體動作本身更為重要。兒童能一一地點數石子，我們也能訓練一只小雞——地啄石子，但小雞不會了解“10”這個數，因為它沒有反思。

　　數學運算因其反身性，還呈現出一種層次性與相對性。高一級的運算是對低一級的運算所進行的反思、協調與轉換。乘法是對加法的“運算”；乘方又是對乘法的“運算”。

　　2.可逆性“運算是一種可以逆行的行動，即它能向一個方向進行，也能向相反的方向進行。”④我們可以把1和2相加得到3；反過來，也可以用3減2而還原為1。任何一種運算，總有一個與之對應的逆運算。

　　學生用減法驗算加法（或反過來用加法驗算減法），用除法驗算乘法（或反過來用乘法驗算除法），就是因為這些運算是可以“逆行”的。對于“合”（加或乘）的結果，我們可以用“分”的動作（減或除）使其還原到初始狀態。

　　可逆性可以區分為兩類，一類是反演可逆（1＋2＝3，反過來3－2＝1）；一類是互反可逆（6比2多4，反過來2比6少4）。前者表現為相反的操作；后者表現為次序的逆向轉換。

　　3.結合性運算“是可以繞道迂回的，通過兩種不同的方法可以獲得相同的結果”。⑤這就是所謂結合性。具體到小學數學教學中，結合性體現在兩個方面。

　　其一，體現在運算定律方面：3＋4＝4＋3（加法的交換律）；3×（4＋5）＝3×4＋3×5（乘法的分配律）。這里，每個等式兩邊是不同途徑的運算，但其運算結果卻是恒等的；其二，體現在問題解決的一題多解方面。

　　問題：男生和女生共植樹450棵，已知每個同學植樹5棵，有男生46人。問：女生多少人？

　　對于這一問題可以先求出女生植樹多少棵，再除以5，得出女生人數：（450－5×46）÷5＝44（人）；也可以先求兩個班共有多少人，再減去男生46人，得出女生的人數：450÷5－46＝44（人）。兩種解法，具體途徑不同，但結果一樣。

　　至此，我們將可逆性與結合性綜合起來考察，則會發現數學運算總是隱含著某些“不變的因素”。反演可逆是以相反的運算（如：以減法來驗算加法）使其還原為初始不變的狀態。互反可逆是一種相互轉換，6比2多4，2比6少4，這里差集“4”是不變的。在運算規則里，運算途徑改變了，但運算結果不變。在問題解決中，具體解法可以各異，但答案是唯一（不變）的。

　　我們說，數學運算是一種轉換。在這種轉換過程中，并非所有的東西都發生了改變，總是隱含著某種不變的因素。正是“不變因素”的存在，才使轉換成為可能。

　　4.結構性結構性運算，就其現實的存在方式而言，“包括復雜的運算體系，而不是被看作先于這些體系成分的那些孤立的運算。”⑥數學運算總是以結構化的整體的方式而存在。首先，每一種數學運算本身就是一個結構化的動作。加法包括“合”的動作，也包括計其總數據的動作（這在學齡前兒童的實物操作中，可觀察到；小學一年級兒童，因熟練而逐漸簡約化）；其次，各種運算聯合起來，又構成一個大的結構，加是“合”的動作，減是“分”的動作；乘是加（或合）的簡便運算，除是減（或分）的簡便運算；加減互為逆運算，乘除互為逆運算。這許多關系，使四則運算聯合成一個大的整體。

　　三、課堂教學中，指導學生動手操作應注意的問題

　　在明確了數學運算的內在規定性之后，我們將依照這些規定性，提出在課堂教學中指導兒童動手操作應注意的問題。

　　1.引起反省從以上分析中我們了解到，數學運算是一種反思，具體動作之后的反思比具體動作更為重要。具體到課堂教學中，我們在指導學生動作操作時，不應停留在為操作而操作的層面；而應引導學生對其操作進行思索。以分數概念的教學為例，通常的教法是將分數的具體“操作”和盤托出、呈現給學生。如：將一個餅平均分成兩塊，每塊是它的.1／2。這樣的做法只能讓學生照葫蘆畫瓢一樣地模仿，而不能調動學生內部的思考過程。