如何不斷深入地進行教學改革,努力提高教學質量是擺在我們面前的重大課題。為此，我們對照中外數學分析(微積分）教學改革的現狀，結合我院的實際情況深入探討，以吸取新的經驗,從而進一步改善我們的教學,提高教學質量，培育高素質人才。

1我國近年來數學分析教學改革狀況

　　70年代末，我國數學界迎來了科學的春天。改革開放以后，人們對國際數學研宄的學術動向有了新的了解與認識,看到了我國數學落后的現狀，看到了我國數學教育與歐美等國的差異，開始了對我國數學教育的反思。這時，整個數學界比過去更加關注數學教育的改革。

　　在改革開放初期,數學界對數學教育和數學分析有許多的議論。這些議論歸納起來有兩點:一是課程設置與學時問題，反映分析類課程（包括實變函數、復變函數、常微分方程、偏微分方程、泛函分析等）太多，而且基礎課程中數學分析的課時太多。相比而言,幾何類、代數類的課程過少，學生在代數、幾何方面的修養較差，應當有所增加。后來大多數學校數學系的數學分析課由4個學期減為3個學期。其二，對數學分析課程內容本身有較廣泛的批評，主要來自“外部”（即非數學分析教師），來自當時的一些老數學家。批評重點是兩條：⑴內容太多，過深、過難，過于形式化；⑵“大頭分析”，即本末倒置、難易倒置。后者主要指，傳統的講法，初學者在一開始就面臨著一大堆抽象艱深的討論：“戴德金分割法”、“e-5”、“實數完備性的8大定理”、“一致連續性”等，一般要花上12周或13周時間，而學生不知道所為何來，這種教學體系遠離了微積分的主題和基本精神，而在實數與極限上大做文章，形成本末倒置,使數學分析像一個身子瘦小，而頭很大的“大頭娃娃”。

　　這樣，在反思與批評中，數學分析課程開始了掙脫舊傳統框架的改革之途。

　　這些年來，數學分析教材改革的努力和討論，主要集中在以下幾個問題上：

　　11淡化“實數理論”。有的教材放棄了用戴德金分割法定義實數的方法，而以十進制小數來表示實數，并在此基礎上說明或證明了單調有界的序列有極限的定理。其它有關實數的定理則由此推出，對于實數的運算則不加定義。

　　有的教材則干脆不討論什么是實數，對實數不加定義,而引出實數所應滿足的一系列公理，作為今后討論的平臺。當然，對此也有不同的聲音與做法。有人認為“數學專業的學生不應該不知道戴德金分割”,有的教材不僅講實數，還添加了新的內容（度量空間、可數、實數的不可數性等)。

　　12“e-5”訓練的問題。所有目前出版的數學分析教材毫無例外地都堅持使用了“e-5”語言來陳述極限，大多數人不贊成取消或不使用“e-5”的作法，大家認為作為數學專業的學生,熟練掌握它依然是必要的。

　　大多數教師已經認識到對于“e-5”的訓練應有一個過程,不宜一開始要求過高，也不宜在開始時做過多專門訓練的題目，而是應該讓學生隨著教學不斷地使用它，而逐步熟悉、逐步達到熟練應用它。

　　13分散處理有關實數與連續函數性質的討論。很多教材已經注意到大頭極限的問題,大家采取了不同方式來著手解決它。比如,有的教材把這些定理只列出，暫時不加證明，留到以后第3學期再講證明；有的教材則把有關實數完備性的7個（或8個）定理不集中在一開頭講述，而是把它們打散到各個適當的地方再講;有的教材把一致連續的概念與閉區間上連續函數一致連續性與其它連續函數的其它性質分開，單獨出來，放在討論函數的黎曼可積的討論之前講。這些安排不僅分散了難點，同時也有利于學生更清楚地看清實數的有關定理以及連續函數性質的意義。

　　14關于內容現代化問題。在近年來的教材中，有的做了如下嘗試:有的教材在多元微積分中講述了外微分形式（不借助于外代數），并給出了一般形式的斯托克斯公式，以統一解釋場論中各個積分公式；有的教材引入了現代數學的一些概念、術語和詞匯，如引入了勒貝格測度和勒貝格積分等。對此看法不一,有一些爭議。

　　15理論聯系實際的問題。由于外國教材的傳入，受其影響，人們更加重視微積分的應用，并努力在教材或習題中舉出一些較為生動的例子或題目，以便使讀者明了微積分的價值。有的教材把利用微積分從開普勒（IKej-ler)定律導出萬有引力公式,作為應用寫進課文。

　　16改變單一的教學方式，調動學生學習積極性，培養學生的獨立閱讀、獨立思考和善于表達的能力。改革開放以來，單一的教學方式有所改變，以此來調動學生在教學過程中的主動性。有的學校的數學系，已多年在低年級(一年級下）開辦“討論班”或“讀書班”,學生自愿,教師指導，不記學分。這是調動學生學習積極性的好途徑，效果顯著。

2美國近幾年微積分教學改革狀況

　　在美國微積分是最大的一門課。美國共有5785所大學，總計1600萬學生，在這些學生當中，每年約有50萬人在他們上大學的第一學年要學習微積分，其中40萬人是來自四年制的大學，10萬人來自兩年制的大學。此外，每年還有25萬高中生學習大學的微積分課程。數學、自然科學、工程、醫學和生物學等學科的學生都要學習微積分。對于商學院和經濟系的學生而言，微積分是必修課。另外文科學生中的一部分，如心理學、社會學、人類學等學科的學生也要學習一年左右的微積分。其它如音樂、英語和法律的學生，雖然沒有強調必須修讀微積分,但仍有不少人自愿選修這門課程。

　　如此多的'學生學習微積分的一個重要原因是微積分能教會學生如何解決問題。在微積分教材中有很多習題，學生必須根據他們所學的知識進行解答。對很多學生來說,微積分可能是他們學過的惟一一門教他們如何進行邏輯思維的課程。盡管有的人可能在工作以后再也用不到微積分，但他們仍能從解答習題中獲益。加州大學經濟系主任曾經說他們在錄取研宄生的時候，衡量學生是否適合研讀經濟學博士，以及將來的發展如何的惟一依據就是他們的微積分成績。也就是說,從學生在微積分這門課上的表現可以預測他們繼續深造經濟學的潛力。

　　在美國講授微積分的方式是多樣的，有多種微積分課程。第一種稱為數學分析，對數學的處理非常嚴謹，是面向那些基礎扎實，非常優秀的大學生。這門課在美國不是很普遍，只有在少數幾所著名的大學里可以找到,大概只占1%,但在俄羅斯、歐洲和中國非常普遍。最普遍的一種微積分稱為傳統微積分。傳統微積分包括一定量的理論證明和大量物理學和工程學的應用題。另一種微積分則更側重于應用，主要面向貿易、經濟類以及生物學和醫學的學生。這種課比較普遍，對數學處理不是那么嚴謹，理論和證明部分很少，現實性生活中的應用題比較多，在教學中不斷嘗試新的技術、新的方法。有的課是按照微積分教學改革的宗旨來設計的，與傳統微積分相比,這些課有著不同的教學理念。比如,有人認為學生應該組成學習小組來學習；有人認為應該使用所謂的發現法，如果知識點是學生自己發現的，他們學習起來更有興趣。

　　科技對微積分教學的影響主要有三個方面。一是對教學方法的影響，比如很多教師將課程相關的內容放在網上，用計算圖形軟件制作課件，用PoverpoiU制作講義，圍繞Mahemalica設計課程等。二是計算機對教學內容的影響，比如牛頓方法越來越重要,有了像Mahemalica這樣強大的計算工具和專門的計算方法，求積分的重要性不如以前了。三是微積分的用途，對那些工作中要用到微積分的人來說，計算機相當重要。

　　在美國規模較大的學校里，微積分課堂人數很多，一般是100至400人，每周都會布置家庭作業，有的甚至是每天。批改作業需要大量的時間，一個做法是聘請研宄生助教來幫助批改;另一個作法是布置作業但不批改，這樣學生可能不做;第三個是越來越多被采用的做法,即得用Mymalh]dbWeAssignWAworks等計算機家庭作業軟件，學生在網上登錄,直接完成作業，教師很快就能得到全班的成績單。有的學生經常會把習題答案放在網上，使用這些軟件可以隨機安排題目，讓不同的學生得到不同的題目，這樣可以避免他們投機取巧，從網上抄襲答案。在網上做作業的另一個益處是學生可以立即得到反饋。當學生遇到困難,傳統作法是去找老師、同學或研宄生助教尋求幫助，但這樣花費很多的時間。在線家庭作業可以立即給學生反饋，比如舉出一些類似的例子，給出相關的參考書等。經試用，效果非常不錯。