如何不斷深入地進(jìn)行教學(xué)改革,努力提高教學(xué)質(zhì)量是擺在我們面前的重大課題。為此，我們對(duì)照中外數(shù)學(xué)分析(微積分）教學(xué)改革的現(xiàn)狀，結(jié)合我院的實(shí)際情況深入探討，以吸取新的經(jīng)驗(yàn),從而進(jìn)一步改善我們的教學(xué),提高教學(xué)質(zhì)量，培育高素質(zhì)人才。
1我國(guó)近年來(lái)數(shù)學(xué)分析教學(xué)改革狀況
70年代末，我國(guó)數(shù)學(xué)界迎來(lái)了科學(xué)的春天。改革開(kāi)放以后，人們對(duì)國(guó)際數(shù)學(xué)研宄的學(xué)術(shù)動(dòng)向有了新的了解與認(rèn)識(shí),看到了我國(guó)數(shù)學(xué)落后的現(xiàn)狀，看到了我國(guó)數(shù)學(xué)教育與歐美等國(guó)的差異，開(kāi)始了對(duì)我國(guó)數(shù)學(xué)教育的反思。這時(shí)，整個(gè)數(shù)學(xué)界比過(guò)去更加關(guān)注數(shù)學(xué)教育的改革。
在改革開(kāi)放初期,數(shù)學(xué)界對(duì)數(shù)學(xué)教育和數(shù)學(xué)分析有許多的議論。這些議論歸納起來(lái)有兩點(diǎn):一是課程設(shè)置與學(xué)時(shí)問(wèn)題，反映分析類(lèi)課程（包括實(shí)變函數(shù)、復(fù)變函數(shù)、常微分方程、偏微分方程、泛函分析等）太多，而且基礎(chǔ)課程中數(shù)學(xué)分析的課時(shí)太多。相比而言,幾何類(lèi)、代數(shù)類(lèi)的課程過(guò)少，學(xué)生在代數(shù)、幾何方面的修養(yǎng)較差，應(yīng)當(dāng)有所增加。后來(lái)大多數(shù)學(xué)校數(shù)學(xué)系的數(shù)學(xué)分析課由4個(gè)學(xué)期減為3個(gè)學(xué)期。其二，對(duì)數(shù)學(xué)分析課程內(nèi)容本身有較廣泛的批評(píng)，主要來(lái)自“外部”（即非數(shù)學(xué)分析教師），來(lái)自當(dāng)時(shí)的一些老數(shù)學(xué)家。批評(píng)重點(diǎn)是兩條：⑴內(nèi)容太多，過(guò)深、過(guò)難，過(guò)于形式化；⑵“大頭分析”，即本末倒置、難易倒置。后者主要指，傳統(tǒng)的講法，初學(xué)者在一開(kāi)始就面臨著一大堆抽象艱深的討論：“戴德金分割法”、“e-5”、“實(shí)數(shù)完備性的8大定理”、“一致連續(xù)性”等，一般要花上12周或13周時(shí)間，而學(xué)生不知道所為何來(lái)，這種教學(xué)體系遠(yuǎn)離了微積分的主題和基本精神，而在實(shí)數(shù)與極限上大做文章，形成本末倒置,使數(shù)學(xué)分析像一個(gè)身子瘦小，而頭很大的“大頭娃娃”。
這樣，在反思與批評(píng)中，數(shù)學(xué)分析課程開(kāi)始了掙脫舊傳統(tǒng)框架的改革之途。
這些年來(lái)，數(shù)學(xué)分析教材改革的努力和討論，主要集中在以下幾個(gè)問(wèn)題上：
11淡化“實(shí)數(shù)理論”。有的教材放棄了用戴德金分割法定義實(shí)數(shù)的方法，而以十進(jìn)制小數(shù)來(lái)表示實(shí)數(shù)，并在此基礎(chǔ)上說(shuō)明或證明了單調(diào)有界的序列有極限的定理。其它有關(guān)實(shí)數(shù)的定理則由此推出，對(duì)于實(shí)數(shù)的運(yùn)算則不加定義。
有的教材則干脆不討論什么是實(shí)數(shù)，對(duì)實(shí)數(shù)不加定義,而引出實(shí)數(shù)所應(yīng)滿足的一系列公理，作為今后討論的平臺(tái)。當(dāng)然，對(duì)此也有不同的聲音與做法。有人認(rèn)為“數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生不應(yīng)該不知道戴德金分割”,有的教材不僅講實(shí)數(shù)，還添加了新的內(nèi)容（度量空間、可數(shù)、實(shí)數(shù)的不可數(shù)性等)。
12“e-5”訓(xùn)練的問(wèn)題。所有目前出版的數(shù)學(xué)分析教材毫無(wú)例外地都堅(jiān)持使用了“e-5”語(yǔ)言來(lái)陳述極限，大多數(shù)人不贊成取消或不使用“e-5”的作法，大家認(rèn)為作為數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生,熟練掌握它依然是必要的。
大多數(shù)教師已經(jīng)認(rèn)識(shí)到對(duì)于“e-5”的訓(xùn)練應(yīng)有一個(gè)過(guò)程,不宜一開(kāi)始要求過(guò)高，也不宜在開(kāi)始時(shí)做過(guò)多專(zhuān)門(mén)訓(xùn)練的題目，而是應(yīng)該讓學(xué)生隨著教學(xué)不斷地使用它，而逐步熟悉、逐步達(dá)到熟練應(yīng)用它。
13分散處理有關(guān)實(shí)數(shù)與連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的討論。很多教材已經(jīng)注意到大頭極限的問(wèn)題,大家采取了不同方式來(lái)著手解決它。比如,有的教材把這些定理只列出，暫時(shí)不加證明，留到以后第3學(xué)期再講證明；有的教材則把有關(guān)實(shí)數(shù)完備性的7個(gè)（或8個(gè)）定理不集中在一開(kāi)頭講述，而是把它們打散到各個(gè)適當(dāng)?shù)牡胤皆僦v;有的教材把一致連續(xù)的概念與閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)一致連續(xù)性與其它連續(xù)函數(shù)的其它性質(zhì)分開(kāi)，單獨(dú)出來(lái)，放在討論函數(shù)的黎曼可積的討論之前講。這些安排不僅分散了難點(diǎn)，同時(shí)也有利于學(xué)生更清楚地看清實(shí)數(shù)的有關(guān)定理以及連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的意義。
14關(guān)于內(nèi)容現(xiàn)代化問(wèn)題。在近年來(lái)的教材中，有的做了如下嘗試:有的教材在多元微積分中講述了外微分形式（不借助于外代數(shù)），并給出了一般形式的斯托克斯公式，以統(tǒng)一解釋場(chǎng)論中各個(gè)積分公式；有的教材引入了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一些概念、術(shù)語(yǔ)和詞匯，如引入了勒貝格測(cè)度和勒貝格積分等。對(duì)此看法不一,有一些爭(zhēng)議。
15理論聯(lián)系實(shí)際的問(wèn)題。由于外國(guó)教材的傳入，受其影響，人們更加重視微積分的應(yīng)用，并努力在教材或習(xí)題中舉出一些較為生動(dòng)的例子或題目，以便使讀者明了微積分的價(jià)值。有的教材把利用微積分從開(kāi)普勒（IKej-ler)定律導(dǎo)出萬(wàn)有引力公式,作為應(yīng)用寫(xiě)進(jìn)課文。
16改變單一的教學(xué)方式，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立閱讀、獨(dú)立思考和善于表達(dá)的能力。改革開(kāi)放以來(lái)，單一的教學(xué)方式有所改變，以此來(lái)調(diào)動(dòng)學(xué)生在教學(xué)過(guò)程中的主動(dòng)性。有的學(xué)校的數(shù)學(xué)系，已多年在低年級(jí)(一年級(jí)下）開(kāi)辦“討論班”或“讀書(shū)班”,學(xué)生自愿,教師指導(dǎo)，不記學(xué)分。這是調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性的好途徑，效果顯著。
2美國(guó)近幾年微積分教學(xué)改革狀況
在美國(guó)微積分是最大的一門(mén)課。美國(guó)共有5785所大學(xué)，總計(jì)1600萬(wàn)學(xué)生，在這些學(xué)生當(dāng)中，每年約有50萬(wàn)人在他們上大學(xué)的第一學(xué)年要學(xué)習(xí)微積分，其中40萬(wàn)人是來(lái)自四年制的大學(xué)，10萬(wàn)人來(lái)自兩年制的大學(xué)。此外，每年還有25萬(wàn)高中生學(xué)習(xí)大學(xué)的微積分課程。數(shù)學(xué)、自然科學(xué)、工程、醫(yī)學(xué)和生物學(xué)等學(xué)科的學(xué)生都要學(xué)習(xí)微積分。對(duì)于商學(xué)院和經(jīng)濟(jì)系的學(xué)生而言，微積分是必修課。另外文科學(xué)生中的一部分，如心理學(xué)、社會(huì)學(xué)、人類(lèi)學(xué)等學(xué)科的學(xué)生也要學(xué)習(xí)一年左右的微積分。其它如音樂(lè)、英語(yǔ)和法律的學(xué)生，雖然沒(méi)有強(qiáng)調(diào)必須修讀微積分,但仍有不少人自愿選修這門(mén)課程。
如此多的'學(xué)生學(xué)習(xí)微積分的一個(gè)重要原因是微積分能教會(huì)學(xué)生如何解決問(wèn)題。在微積分教材中有很多習(xí)題，學(xué)生必須根據(jù)他們所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行解答。對(duì)很多學(xué)生來(lái)說(shuō),微積分可能是他們學(xué)過(guò)的惟一一門(mén)教他們?nèi)绾芜M(jìn)行邏輯思維的課程。盡管有的人可能在工作以后再也用不到微積分，但他們?nèi)阅軓慕獯鹆?xí)題中獲益。加州大學(xué)經(jīng)濟(jì)系主任曾經(jīng)說(shuō)他們?cè)阡浫⊙绣成臅r(shí)候，衡量學(xué)生是否適合研讀經(jīng)濟(jì)學(xué)博士，以及將來(lái)的發(fā)展如何的惟一依據(jù)就是他們的微積分成績(jī)。也就是說(shuō),從學(xué)生在微積分這門(mén)課上的表現(xiàn)可以預(yù)測(cè)他們繼續(xù)深造經(jīng)濟(jì)學(xué)的潛力。
在美國(guó)講授微積分的方式是多樣的，有多種微積分課程。第一種稱為數(shù)學(xué)分析，對(duì)數(shù)學(xué)的處理非常嚴(yán)謹(jǐn)，是面向那些基礎(chǔ)扎實(shí)，非常優(yōu)秀的大學(xué)生。這門(mén)課在美國(guó)不是很普遍，只有在少數(shù)幾所著名的大學(xué)里可以找到,大概只占1%,但在俄羅斯、歐洲和中國(guó)非常普遍。最普遍的一種微積分稱為傳統(tǒng)微積分。傳統(tǒng)微積分包括一定量的理論證明和大量物理學(xué)和工程學(xué)的應(yīng)用題。另一種微積分則更側(cè)重于應(yīng)用，主要面向貿(mào)易、經(jīng)濟(jì)類(lèi)以及生物學(xué)和醫(yī)學(xué)的學(xué)生。這種課比較普遍，對(duì)數(shù)學(xué)處理不是那么嚴(yán)謹(jǐn)，理論和證明部分很少，現(xiàn)實(shí)性生活中的應(yīng)用題比較多，在教學(xué)中不斷嘗試新的技術(shù)、新的方法。有的課是按照微積分教學(xué)改革的宗旨來(lái)設(shè)計(jì)的，與傳統(tǒng)微積分相比,這些課有著不同的教學(xué)理念。比如,有人認(rèn)為學(xué)生應(yīng)該組成學(xué)習(xí)小組來(lái)學(xué)習(xí)；有人認(rèn)為應(yīng)該使用所謂的發(fā)現(xiàn)法，如果知識(shí)點(diǎn)是學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)的，他們學(xué)習(xí)起來(lái)更有興趣。
科技對(duì)微積分教學(xué)的影響主要有三個(gè)方面。一是對(duì)教學(xué)方法的影響，比如很多教師將課程相關(guān)的內(nèi)容放在網(wǎng)上，用計(jì)算圖形軟件制作課件，用PoverpoiU制作講義，圍繞Mahemalica設(shè)計(jì)課程等。二是計(jì)算機(jī)對(duì)教學(xué)內(nèi)容的影響，比如牛頓方法越來(lái)越重要,有了像Mahemalica這樣強(qiáng)大的計(jì)算工具和專(zhuān)門(mén)的計(jì)算方法，求積分的重要性不如以前了。三是微積分的用途，對(duì)那些工作中要用到微積分的人來(lái)說(shuō)，計(jì)算機(jī)相當(dāng)重要。
在美國(guó)規(guī)模較大的學(xué)校里，微積分課堂人數(shù)很多，一般是100至400人，每周都會(huì)布置家庭作業(yè)，有的甚至是每天。批改作業(yè)需要大量的時(shí)間，一個(gè)做法是聘請(qǐng)研宄生助教來(lái)幫助批改;另一個(gè)作法是布置作業(yè)但不批改，這樣學(xué)生可能不做;第三個(gè)是越來(lái)越多被采用的做法,即得用Mymalh]dbWeAssignWAworks等計(jì)算機(jī)家庭作業(yè)軟件，學(xué)生在網(wǎng)上登錄,直接完成作業(yè)，教師很快就能得到全班的成績(jī)單。有的學(xué)生經(jīng)常會(huì)把習(xí)題答案放在網(wǎng)上，使用這些軟件可以隨機(jī)安排題目，讓不同的學(xué)生得到不同的題目，這樣可以避免他們投機(jī)取巧，從網(wǎng)上抄襲答案。在網(wǎng)上做作業(yè)的另一個(gè)益處是學(xué)生可以立即得到反饋。當(dāng)學(xué)生遇到困難,傳統(tǒng)作法是去找老師、同學(xué)或研宄生助教尋求幫助，但這樣花費(fèi)很多的時(shí)間。在線家庭作業(yè)可以立即給學(xué)生反饋，比如舉出一些類(lèi)似的例子，給出相關(guān)的參考書(shū)等。經(jīng)試用，效果非常不錯(cuò)。
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