摘要：數學問題變式可分為水平變式和垂直變式，問題變式本身展示了結構與功能的統一。

關鍵詞：問題變式；結構；功能；認知

　　本文以數學問題變式為例，論述問題變式中結構與功能的統一。

　　近幾十年來，數學學習中，問題受到了很好的注意。但很多研究更多地關注單個問題，數學問題與數學問題之間的關系，并未加以應有的關注。事實上，學生往往不是解一道題，而是解幾道題，學生可能從題題之間不變的關系中抽象出數學意義，進而把問題分類，使題目類型化。變式教學是數學教師十分熟悉的教學思想、教學理念，這方面有很多實踐，可理論研究還很弱。為什么該教學方法有用？變式教學的合理之處是什么？本文嘗試以此為“透鏡”，通過題題之間的結構，透視數學問題變式的功能。

　　最近，以Marton為首的歐洲學派的變式學習理論研究，逐步在香港教育界扎根并開花結果。Marton變式學習理論認為經歷事物的方式就是學習（Marton & Booth，1997）。把“變的部分”和“不變的部分”加以區別，人們所經歷的過程，稱為變式學習。

一、數學教學中的問題變式

　　變式，可以說是中國內地“本土化”的實用教學經驗。為了通俗地介紹變式題，筆者先從讀小學時的一個小故事談起。一位小學教師出了一道題：的是多少？當時大家都不會做。于是這位教師就說：“以后解題，凡看見××××的多少，用除法?？匆姟痢痢痢潦嵌嗌?，用乘法。所以這道題用乘法?！庇谑俏視鲞@類題了，卻根本不懂什么意思。后來，這位數學教師繼續上課，他用一串啟發性的由淺入深的題組（下表），令我豁然開朗。這就是問題變式。

　　題目：的倍是多少？

　　我們一般把將源問題加以變化的這些新問題，稱為變式題。將源問題加以變化，稱為問題變式。

二、數學問題變式的結構

　?。ㄒ唬﹩栴}的兩重特征

　　每個數學問題可分解為表面形式特征和深層數學結構特征。表面形式特征是指問題呈現的表述方式的淺層特征；數學結構特征指涉及問題本質的概念、關系與原則等的深層特征。

　　例如，25個學生一起去劃船。大船每條可以坐6人，租金10元；小船每條只可以坐4人，租金8元。應該怎樣租船才付最少的租金呢？要租多少條大船？多少條小船？租金又是多少呢？這個問題的表面特征是問題情境的陳述：一系列數字。這些數字，經過調換，可以變化，但是對問題的本質影響不大。至于這一題目的數學結構特征則是：題目中涉及人數、大小船數、空位數和錢數共四個變量，學生需要綜合思考四個變量之間的變化依賴關系。

　　問題的表面特征和數學結構特征彼此相異，又互相補充。數學結構特征必須通過表面形式特征來體現，表面形式特征可以反映數學結構特征。但是，數學結構特征反映問題“質”的方面，處于核心地位。

　　（二）問題變式的兩類結構：水平變式和垂直變式

　　這里，我們提出一種新的分類。新問題相對源問題來說，學生能區分問題表面形式特征變化背后的結構特征變化，不帶來認知負荷的變化，為水平變式；學生不能區分問題表面形式特征變化背后的結構特征變化，帶來認知負荷的變化，為垂直變式。這里我們把“問題解決過程中，記憶容量和信息加工的負荷，統稱為認知負荷（cognition load）。

　　這樣，可按問題結構的變化分成不同的層次（垂直變式），在同一結構層次中，可以分成問題表面形式特征不同的變化（水平變式）。一般來說，題目的認知負荷要在學生可理解的范圍即最近發展區內。

　　例如，源問題是：2的1倍是多少？變式題1是：2的2倍是多少？

　　相對源問題，變式題1的水平變式部分是：2的幾倍是多少？1倍變為2倍是變化的新部分，若新部分不帶來認知負荷的變化，為水平變式，否則是垂直變式。

　　還可以有變式題2：的2倍是多少？

　　相對變式題1，變式題2的水平變式部分是：幾的2倍是多少？2變為是變化的新部分，增加了分數概念或小數的概念以及約分的技能的認知負荷。若學生能區分問題表面形式特征變化背后的結構特征變化，不帶來認知負荷的變化，為水平變式，否則是垂直變式。這種區分，以學生的感知為標準。

　　教學的關鍵是化“難”為“易”，化“垂直變式”為學生容易理解的“水平變式”，化“大變”為學生容易區分的“小變”，化“質變”為“量變”，這是數學教學的重要技能。

　　值得一提的是，水平變式和垂直變式的劃分是相對認知水平而言的。例如，上述問題變式對小學生而言，可能有認知負荷，那么是垂直變式，而對中學生而言，可能沒有認知負荷，是水平變式。兩類結構的區分主要以有無認知負荷為標準。

　　水平變式是問題表面重復部分，垂直變式是問題表面變化部分，增加了認知負荷，二者圍繞數學結構“中心軸”發展，三者（水平部分，垂直部分，數學結構“中心軸”）形成了螺旋式發展問題空間。變式教學的精髓就是把認知負荷大的問題，分解為認知負荷小的問題，把垂直變式化為螺旋，循序漸進，分解水平變式。（這即是中國數學教學的傳統策略“大化小，小化了，分而治之，分散難點”的做法。）

　　問題變式的優勢在于“漸”。變式題不同于記憶型題目和高層思維型開放題，而是在記憶型題目和高層思維型開放題兩個“極端”之間保持“平衡”，漸漸地增加認知負荷，更注意題與題之間的變化，由水平變式到垂直變式，逐步區分表面形式特征并提取數學結構的元素，逐步區分題目中的數學結構的元素，發現“變中的不變”，同時培養“以不變應萬變”的能力，從量變到質變，漸漸領悟，把握數學教學的規律（如下頁圖）。

圖1 問題變式結構示意圖

　　（三）問題變式的意義

　　表面形式有差異的水平變式仍然有重要的價值。Marton變式學習理論認為，經驗不斷重復才能形成意義。重復是手段，擴展重復形成意識。第一次經歷與第二次經歷是互相彌補的。第一次關注理論描述效度。當第二次經歷時，第一次所經歷的方面被放大。第二次的經歷“豐富”并“加深”第一次經歷的各個方面。經歷者與經驗的關系只有第二次才能看到。第一次是第二次的基礎，每次焦點不同，強調的方面也不同。學習經驗的兩個維度是直接維度（內容）和間接維度（方法）。學習是經驗的“回歸”方式，重復是手段，重復的意義在于保持某些方面變而其他方面不變，強調內容不變的某些方面，使其他在邊緣的東西，慢慢淡化，突出主要因素，慢慢形成結構。

　　水平變式題雖然只是解題技能的簡單重復，但量變是質變的基礎，學生通過表面形式特征的重復，才能慢慢形成問題的圖式，進而成為問題解決的基礎。

　　當然，沒有垂直變式題，只有水平變式是不行的。數學學習停留于淺層的學習是經驗的淺層“回歸”方式，不會實現深層意義的“回歸”和深層結構的“回歸”。按照Sfard（1991）數學概念的二重性分析，沒有垂直變式題，只有水平變式，數學學習不能到達內化和濃縮化階段，僅停留于過程性理解，難以生成概念性理解，難以生成抽象化和高層數學理解。