高二數學課后練習題之獨立重復試驗與二項分布

試題時間：2021-08-31 手機版

　　一、選擇題

　　1.某一試驗中事件A發生的概率為p，則在n次這樣的試驗中，A發生k次的概率為()

　　A.1-pk

　　B.(1-p)kpn-k

　　C.(1-p)k

　　D.Ckn(1-p)kpn-k

　　[答案] D

　　[解析] 在n次獨立重復試驗中，事件A恰發生k次，符合二項分布，而P(A)=p，則P(A)=1-p，故P(X=k)=Ckn(1-p)kpn-k，故答案選D.

　　2.在4次獨立重復試驗中，事件A發生的概率相同，若事件A至少發生1次的概率為6581，則事件A在1次試驗中發生的概率為()

　　A.13 B.25

　　C.56 D.34

　　[答案] A

　　[解析] 事件A在一次試驗中發生的概率為p，由題意得1-C04p0(1-p)4=6581，所以1-p=23，p=13，故答案選A.

　　3.流星穿過大氣層落在地面上的概率為0.002，流星數為10的流星群穿過大氣層有4個落在地面上的概率為()

　　A.3.3210-5 B.3.3210-9

　　C.6.6410-5 D.6.6410-9

　　[答案] B

　　[解析] 相當于1個流星獨立重復10次，其中落在地面上的有4次的概率P=C4100.0024(1-0.002)63.3210-9，應選B.

　　4.已知隨機變量X服從二項分布，X～B6，13，則P(X=2)等于()

　　A.316 B.4243

　　C.13243 D.80243

　　[答案] D

　　[解析] 已知X～B6，13，P(X=k)=Cknpk(1-p)n-k，當X=2，n=6，p=13時有P(X=2)=C261321-136-2=C26132234=80243.

　　5.某一批花生種子，如果每1粒發芽的概率為45，那么播下4粒種子恰有2粒發芽的概率是()

　　A.16625 B.96625

　　C.192625 D.256625

　　[答案] B

　　[解析] P=C24452152=96625.

　　6.某電子管正品率為34，次品率為14，現對該批電子管進行測試，設第次首次測到正品，則P(=3)=()

　　A.C2314234 B.C2334214

　　C.14234 D.34214

　　[答案] C

　　7.某射手射擊1次，擊中目標的概率是0.9，他連續射擊4次，且各次射擊是否擊中目標相互之間沒有影響.則他恰好擊中目標3次的概率為()

　　A.0.930.1

　　B.0.93

　　C.C340.930.1

　　D.1-0.13

　　[答案] C

　　[解析] 由獨立重復試驗公式可知選C.

　　8.(2016保定高二期末)位于坐標原點的'一個質點P按下述規則移動：質點每次移動一個單位;移動的方向為向上或向右，并且向上、向右移動的概率都是12.質點P移動五次后位于點(2,3)的概率是()

　　A.(12)5 B.C25(12)5

　　C.C35(12)3 D.C25C35(12)5

　　[答案] B

　　[解析] 由于質點每次移動一個單位，移動的方向向上或向右，移動五次后位于點(2,3)，所以質點P必須向右移動二次，向上移動三次，故其概率為C35(12)3(12)2=C35(12)5=C25(12)5.

　　二、填空題

　　9.已知隨機變量X～B(5，13)，則P(X4)=________.

　　[答案] 11243

　　10.下列例子中隨機變量服從二項分布的有________.

　　①隨機變量表示重復拋擲一枚骰子n次中出現點數是3的倍數的次數;

　?、谀成涫謸糁心繕说母怕蕿?.9，從開始射擊到擊中目標所需的射擊次數

　?、塾幸慌a品共有N件，其中M件為次品，采用有放回抽取方法，表示n次抽取中出現次品的件數(M

　　④有一批產品共有N件，其中M件為次品，采用不放回抽取方法，表示n次抽取中出現次品的件數.

　　[答案] ①③

　　[解析] 對于①，設事件A為拋擲一枚骰子出現的點數是3的倍數，P(A)=13.而在n次獨立重復試驗中事件A恰好發生了k次(k=0,1,2，，n)的概率P(=k)=Ckn13k23n-k，符合二項分布的定義，即有～B(n，13).

　　對于②，的取值是1,2,3，，P(=k)=0.90.1k-1(k=1,2,3，n)，顯然不符合二項分布的定義，因此不服從二項分布.

　　③和④的區別是：③是有放回抽取，而④是無放回抽取，顯然④中n次試驗是不獨立的，因此不服從二項分布，對于③有～Bn，MN.

　　故應填①③.

　　11.(2016湖北文，13)一個病人服用某種新藥后被治愈的概率為0.9，則服用這種新藥的4個病人中至少3人被治愈的概率為________(用數字作答).

　　[答案] 0.9477

　　[解析] 本題主要考查二項分布.

　　C340.930.1+(0.9)4=0.9477.

　　12.如果X～B(20，p)，當p=12且P(X=k)取得最大值時，k=________.

　　[答案] 10

　　[解析] 當p=12時，P(X=k)=Ck2015k1220-k

　　=1220Ck20，顯然當k=10時，P(X=k)取得最大值.

　　三、解答題

　　13.在一次測試中，甲、乙兩人獨立解出一道數學題的概率相同，已知該題被甲或乙解出的概率是0.36，寫出解出該題人數X的分布列.

　　[解析] 設甲、乙獨立解出該題的概率為x，由題意1-(1-x)2=0.36，解得x=0.2.

　　所以解出該題人數X的分布列為

　　X 0 1 2

　　P 0.64 0.32 0.04

　　14.已知某種療法的治愈率是90%，在對10位病人采用這種療法后，正好有90%被治愈的概率是多少?(精確到0.01)

　　[解析] 10位病人中被治愈的人數X服從二項分布，即X～B(10,0.9)，故有9人被治愈的概率為P(X=9)=C9100.990.110.39.

　　15.9粒種子分種在3個坑中，每坑3粒，每粒種子發芽的概率為0.5.若一個坑內至少有1粒種子發芽，則這個坑不需要補種;若一個坑內的種子都沒發芽，則這個坑需要補種.假定每個坑至多補種一次，每補種1個坑需10元，用X表示補種的費用，寫出X的分布列.

　　[解析] 因為一個坑內的3粒種子都不發芽的概率為(1-0.5)3=18，所以一個坑不需要補種的概率為1-18=78.

　　3個坑都不需要補種的概率為

　　C031807830.670，

　　恰有1個坑需要補種的概率為

　　C131817820.287，

　　恰有2個坑需要補種的概率為

　　C231827810.041，

　　3個坑都需要補種的概率為

　　C331837800.002.

　　補種費用X的分布列為

　　X 0 10 20 30

　　P 0.670 0.287 0.041 0.002

　　16.(2016全國Ⅰ理，18)投到某雜志的稿件，先由兩位初審專家進行評審.若能通過兩位初審專家的評審，則予以錄用;若兩位初審專家都未予通過，則不予錄用;若恰能通過一位初審專家的評審，則再由第三位專家進行復審，若能通過復審專家的評審，則予以錄用，否則不予錄用.設稿件能通過各初審專家評審的概率均為0.5，復審的稿件能通過評審的概率為0.3.各專家獨立評審.

　　(1)求投到該雜志的1篇稿件被錄用的概率;

　　(2)記X表示投到該雜志的4篇稿件中被錄用的篇數，求X的分布列.

　　[分析] 本題主要考查等可能性事件、互斥事件、獨立事件、相互獨立試驗、分布列、數學期望等知識，以及運用概率知識解決實際問題的能力，考查分類與整合思想、化歸與轉化思想.(1)稿件被錄用這一事件轉化為事件稿件能通過兩位初審專家的評審和事件稿件能通過復審專家的評審的和事件，利用加法公式求解.(2)X服從二項分布，結合公式求解即可.

　　[解析] (1)記A表示事件：稿件能通過兩位初審專家的評審;

　　B表示事件：稿件恰能通過一位初審專家的評審;

　　C表示事件：稿件能通過復審專家的評審;

　　D表示事件：稿件被錄用.

　　則D=A+BC，

　　而P(A)=0.50.5=0.25，P(B)=20.50.5=0.5，P(C)=0.3

　　故P(D)=P(A+BC)=P(A)+P(B)P(C)=0.25+0.50.3=0.4.

　　(2)隨機變量X服從二項分布，即X～B(4,0.4)，

　　X的可能取值為0,1,2,3,4，且P(X=0)=(1-0.4)4=0.1296

　　P(X=1)=C140.4(1-0.4)3=0.3456

　　P(X=2)=C240.42(1-0.4)2=0.3456

　　P(X=3)=C340.43(1-0.4)=0.1536