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函數的最值與導數高二數學課后練習題

試題 時間:2021-08-31 手機版

函數的最值與導數高二數學課后練習題

一、選擇題

  1.函數y=f(x)在區間[a,b]上的最大值是M,最小值是m,若M=m,則f(x)()

  A.等于0 B.大于0

  C.小于0 D.以上都有可能

  [答案] A

  [解析] ∵M=m,y=f(x)是常數函數

  f(x)=0,故應選A.

  2.設f(x)=14x4+13x3+12x2在[-1,1]上的最小值為()

  A.0 B.-2

  C.-1 D.1312

  [答案] A

  [解析] y=x3+x2+x=x(x2+x+1)

  令y=0,解得x=0.

  f(-1)=512,f(0)=0,f(1)=1312

  f(x)在[-1,1]上最小值為0.故應選A.

  3.函數y=x3+x2-x+1在區間[-2,1]上的最小值為()

  A.2227 B.2

  C.-1 D.-4

  [答案] C

  [解析] y=3x2+2x-1=(3x-1)(x+1)

  令y=0解得x=13或x=-1

  當x=-2時,y=-1;當x=-1時,y=2;

  當x=13時,y=2227;當x=1時,y=2.

  所以函數的最小值為-1,故應選C.

  4.函數f(x)=x2-x+1在區間[-3,0]上的最值為()

  A.最大值為13,最小值為34

  B.最大值為1,最小值為4

  C.最大值為13,最小值為1

  D.最大值為-1,最小值為-7

  [答案] A

  [解析] ∵y=x2-x+1,y=2x-1,

  令y=0,x=12,f(-3)=13,f12=34,f(0)=1.

  5.函數y=x+1-x在(0,1)上的最大值為()

  A.2 B.1

  C.0 D.不存在

  [答案] A

  [解析] y=12x-121-x=121-x-xx1-x

  由y=0得x=12,在0,12上y0,在12,1上

  y0.x=12時y極大=2,

  又x(0,1),ymax=2.

  6.函數f(x)=x4-4x (|x|1)()

  A.有最大值,無最小值

  B.有最大值,也有最小值

  C.無最大值,有最小值

  D.既無最大值,也無最小值

  [答案] D

  [解析] f(x)=4x3-4=4(x-1)(x2+x+1).

  令f(x)=0,得x=1.又x(-1,1)

  該方程無解,

  故函數f(x)在(-1,1)上既無極值也無最值.故選D.

  7.函數y=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最大值和最小值分別是()

  A.5,-15 B.5,4

  C.-4,-15 D.5,-16

  [答案] A

  [解析] y=6x2-6x-12=6(x-2)(x+1),

  令y=0,得x=2或x=-1(舍).

  ∵f(0)=5,f(2)=-15,f(3)=-4,

  ymax=5,ymin=-15,故選A.

  8.已知函數y=-x2-2x+3在[a,2]上的最大值為154,則a等于()

  A.-32 B.12

  C.-12 D.12或-32

  [答案] C

  [解析] y=-2x-2,令y=0得x=-1.

  當a-1時,最大值為f(-1)=4,不合題意.

  當-1

  最大值為f(a)=-a2-2a+3=154,

  解得a=-12或a=-32(舍去).

  9.若函數f(x)=x3-12x在區間(k-1,k+1)上不是單調函數,則實數k的取值范圍是

  ()

  A.k-3或-11或k3

  B.-3

  C.-2

  D.不存在這樣的實數

  [答案] B

  [解析] 因為y=3x2-12,由y0得函數的增區間是(-,-2)和(2,+),由y0,得函數的減區間是(-2,2),由于函數在(k-1,k+1)上不是單調函數,所以有k-1-2

  10.函數f(x)=x3+ax-2在區間[1,+)上是增函數,則實數a的取值范圍是()

  A.[3,+) B.[-3,+)

  C.(-3,+) D.(-,-3)

  [答案] B

  [解析] ∵f(x)=x3+ax-2在[1,+)上是增函數,f(x)=3x2+a0在[1,+)上恒成立

  即a-3x2在[1,+)上恒成立

  又∵在[1,+)上(-3x2)max=-3

  a-3,故應選B.

二、填空題

  11.函數y=x32+(1-x)32,01的最小值為______.

  [答案] 22

  由y0得x12,由y0得x12.

  此函數在0,12上為減函數,在12,1上為增函數,最小值在x=12時取得,ymin=22.

  12.函數f(x)=5-36x+3x2+4x3在區間[-2,+)上的最大值________,最小值為________.

  [答案] 不存在;-2834

  [解析] f(x)=-36+6x+12x2,

  令f(x)=0得x1=-2,x2=32;當x32時,函數為增函數,當-232時,函數為減函數,所以無最大值,又因為f(-2)=57,f32=-2834,所以最小值為-2834.

  13.若函數f(x)=xx2+a(a0)在[1,+)上的最大值為33,則a的值為________.

  [答案] 3-1

  [解析] f(x)=x2+a-2x2(x2+a)2=a-x2(x2+a)2

  令f(x)=0,解得x=a或x=-a(舍去)

  當xa時,f(x)

  當x=a時,f(x)=a2a=33,a=321,不合題意.

  f(x)max=f(1)=11+a=33,解得a=3-1.

  14.f(x)=x3-12x+8在[-3,3]上的`最大值為M,最小值為m,則M-m=________.

  [答案] 32

  [解析] f(x)=3x2-12

  由f(x)0得x2或x-2,

  由f(x)0得-2

  f(x)在[-3,-2]上單調遞增,在[-2,2]上單調遞減,在[2,3]上單調遞增.

  又f(-3)=17,f(-2)=24,f(2)=-8,

  f(3)=-1,

  最大值M=24,最小值m=-8,

  M-m=32.

三、解答題

  15.求下列函數的最值:

  (1)f(x)=sin2x-x-x

  (2)f(x)=x+1-x2.

  [解析] (1)f(x)=2cos2x-1.

  令f(x)=0,得cos2x=12.

  又x2,2,2x,],

  2x=3,x=6.

  函數f(x)在-2上的兩個極值分別為

  f6=32-6,f-6=-32+6.

  又f(x)在區間端點的取值為

  f2,f-2.

  比較以上函數值可得f(x)max=2,f(x)min=-2.

  (2)∵函數f(x)有意義,

  必須滿足1-x20,即-11,

  函數f(x)的定義域為[-1,1].

  f(x)=1+12(1-x2)-12(1-x2)=1-x1-x2 .

  令f(x)=0,得x=22 .

  f(x)在[-1,1]上的極值為

  f22=22+1-222=2.

  又f(x)在區間端點的函數值為f(1)=1,f(-1)=-1,比較以上函數值可得f(x)max=2,f(x)min=-1.

  16.設函數f(x)=ln(2x+3)+x2.求f(x)在區間-34,14上的最大值和最小值.

  [解析] f(x)的定義域為-32,+.

  f(x)=2x+22x+3=4x2+6x+22x+3

  =2(2x+1)(x+1)2x+3.

  當-320;

  當-1

  當x-12時,f(x)0,

  所以f(x)在-34,14上的最小值為

  f-12=ln2+14.

  又f-34-f14=ln32+916-ln72-116=ln37+12=121-ln4990,

  所以f(x)在區間-34,14上的最大值為 f14=ln72+116.

  17.(2016安徽理,17)設a為實數,函數f(x)=ex-2x+2a,xR.

  (1)求f(x)的單調區間及極值;

  (2)求證:當aln2-1且x0時,exx2-2ax+1.

  [分析] 本題考查導數的運算,利用導數研究函數的單調區間,求函數的極值和證明函數不等式,考查運算能力、綜合分析和解決問題的能力.

  解題思路是:(1)利用導數的符號判定函數的單調性,進而求出函數的極值.(2)將不等式轉化構造函數,再利用函數的單調性證明.

  [解析] (1)解:由f(x)=ex-2x+2a,xR知f(x)=ex-2,xR.

  令f(x)=0,得x=ln2.于是當x變化時,f(x),f(x)的變化情況如下表:

  x (-,ln2) ln2 (ln2,+)

  f(x) - 0 +

  f(x) 單調遞減 ? 2(1-ln2+a) 單調遞增 ?

  故f(x)的單調遞減區間是(-,ln2),單調遞增區間是(ln2,+),

  f(x)在x=ln2處取得極小值,極小值為f(ln2)=eln2-2ln2+2a=2(1-ln2+a).

  (2)證明:設g(x)=ex-x2+2ax-1,xR,于是g(x)=ex-2x+2a,xR.

  由(1)知當aln2-1時,g(x)最小值為g(ln2)=2(1-ln2+a)0.

  于是對任意xR,都有g(x)0,所以g(x)在R內單調遞增.

  于是當aln2-1時,對任意x(0,+),都有g(x)g(0).

  而g(0)=0,從而對任意x(0,+),g(x)0.

  即ex-x2+2ax-10,故exx2-2ax+1.

  18.已知函數f(x)=4x2-72-x,x[0,1].

  (1)求f(x)的單調區間和值域;

  (2)設a1,函數g(x)=x3-3a2x-2a,x[0,1].若對于任意x1[0,1],總存在x0[0,1],使得g(x0)=f(x1)成立,求a的取值范圍.

  [解析] (1)對函數f(x)求導,得

  f(x)=-4x2+16x-7(2-x)2=-(2x-1)(2x-7)(2-x)2

  令f(x)=0解得x=12或x=72.

  當x變化時,f(x),f(x)的變化情況如下表:

  x 0 (0,12)

  12

  (12,1)

  1

  f(x) - 0 +

  f(x) -72

  ? -4 ? -3

  所以,當x(0,12)時,f(x)是減函數;

  當x12,1時,f(x)是增函數.

  當x[0,1]時,f(x)的值域為[-4,-3].

  (2)g(x)=3(x2-a2).

  因為a1,當x(0,1)時,g(x)0.

  因此當x(0,1)時,g(x)為減函數,從而當x[0,1]時有g(x)[g(1),g(0)].

  又g(1)=1-2a-3a2,g(0)=-2a,即x[0,1]時有g(x)[1-2a-3a2,-2a].

  任給x1[0,1],f(x1)[-4,-3],存在x0[0,1]使得g(x0)=f(x1)成立,

  則[1-2a-3a2,-2a][-4,-3].

  即1-2a-3a2-4,①-2a-3.②

  解①式得a1或a解②式得a32.

  又a1,故a的取值范圍為132.


本文來源http://www.nvnqwx.com/shiti/2651950.htm
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