函數(shù)和不等式專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練題

　　一、選擇題

　　1.(2014?北京卷)下列函數(shù)中，定義域是R且為增函數(shù)的是?( ).

　　A.y=e-x ?B.y=x3

　　C.y=ln x ?D.y=|x|

　　解析 依據(jù)函數(shù)解析式，通過(guò)判斷定義域和單調(diào)性，逐項(xiàng)驗(yàn)證.A項(xiàng)，函數(shù)定義域?yàn)镽，但在R上為減函數(shù)，故不符合要求;B項(xiàng)，函數(shù)定義域?yàn)镽，且在R上為增函數(shù)，故符合要求;C項(xiàng)，函數(shù)定義域?yàn)?0，+∞)，不符合要求;D項(xiàng)，函數(shù)定義域?yàn)镽，但在(-∞，0]上單調(diào)遞減，在[0，+∞)上單調(diào)遞增，不符合要求.

　　答案 B

　　2.(2014?臨沂一模)函數(shù)f(x)=lnxx-1+x12 的定義域?yàn)?( ).

　　A.(0，+∞) ?B.(1，+∞)

　　C.(0,1) ?D.(0,1)∪(1，+∞)

　　解析 要使函數(shù)有意義，則有x≥0，xx-1>0，

　　即x≥0，x?x-1?>0，解得x>1.

　　答案 B

　　3.(2014?江西卷)已知函數(shù)f(x)=a?2x，x≥0，2-x，x<0(a∈R)，若f[f(-1)]=1，則a=??( ).

　　A.14 ?B.12

　　C.1 ?D.2

　　解析 根據(jù)分段函數(shù)的解析式列方程求字母的取值.

　　由題意得f(-1)=2-(-1)=2，f[f(-1)]=f(2)=a?22=4a=1，∴a=14.

　　答案 A

　　4.函數(shù)f(x)的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象與曲線(xiàn)y=ex關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則f(x)=??( ).

　　A.ex+1 ?B.ex-1

　　C.e-x+1 ?D.e-x-1

　　解析 與曲線(xiàn)y=ex圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的曲線(xiàn)為y=e-x，函數(shù)y=e-x的圖象向左平移一個(gè)單位得到函數(shù)f(x)的圖象，即f(x)=e-(x+1)=e-x-1.

　　答案 D

　　5.(2014?山東卷)已知函數(shù)y=loga(x+c)(a，c為常數(shù)，其中a>0，a≠1)的圖象如圖，則下列結(jié)論成立的是??( ).

　　A.a>1，c>1

　　B.a>1,0

　　C.01

　　D.0

　　解析 依據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)及函數(shù)圖象的平移變換求解.由對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)及函數(shù)圖象的平移變換知0

　　答案 D

　　6.(2016?浙江卷)已知x，y為正實(shí)數(shù)，則?( ).

　　A.2lg x+lg y=2lg x+2lg y ?B.2lg(x+y)=2lg x?2lg y

　　C.2lg x?lg y=2lg x+2lg y ?D.2lg(xy)=2lg x?2lg y

　　解析 2lg x?2lg y=2lg x+lg y=2lg(xy).故選D.

　　答案 D

　　7.(2014?安徽卷)設(shè)a=log37，b=21.1，c=0.83.1，則?( ).

　　A.b

　　C.c

　　解析 利用“媒介”法比較大小.∵a=log37，∴12.∵c=0.83.1，∴0

　　答案 B

　　二、填空題

　　8.已知f(x)=ln(1+x)的定義域?yàn)榧螹，g(x)=2x+1的'值域?yàn)榧螻，則M∩N=________.

　　解析 由對(duì)數(shù)與指數(shù)函數(shù)的知識(shí)，得M=(-1，+∞)，N=(1，+∞)，故M∩N=(1，+∞).

　　答案 (1，+∞)

　　9.(2014?大綱全國(guó)卷改編)奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽.若f(x+2)為偶函數(shù)，且f(1)=1，則f(8)+f(9)=______________.

　　解析 由函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱(chēng)性推出周期性，利用周期性求函數(shù)值.因?yàn)閒(x)為R上的奇函數(shù)，所以f(-x)=-f(x)，f(0)=0.因?yàn)閒(x+2)為偶函數(shù)，所以f(x+2)=f(-x+2)，所以f(x+4)=f(-x)=-f(x)，所以f(x+8)=f(x)，即函數(shù)f(x)的周期為8，故f(8)+f(9)=f(0)+f(1)=1.

　　答案 1

　　10.(2014?新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷)設(shè)函數(shù)f(x)=ex-1，x<1，x13， x≥1，則使得f(x)≤2成立的x的取值范圍是________.

　　解析 結(jié)合題意分段求解，再取并集.當(dāng)x<1時(shí)，x-1<0，ex-1

　　答案 (-∞，8]

　　11.(2016?濟(jì)南模擬)已知函數(shù)f(x)=x3+x，對(duì)任意的m∈[-2,2]，f(mx-2)+f(x)<0恒成立，則x的取值范圍是________.

　　解析 f′(x)=3x2+1>0，∴f(x)在R上為增函數(shù).

　　又f(x)為奇函數(shù)，由f(mx-2)+f(x)<0知，f(mx-2)

　　令g(m)=mx+x-2，由m∈[-2,2]知g(m)<0恒成立，可得g?-2?=-x-2<0，g?2?=3x-2<0，∴-2

　　答案 -2，23

　　12.已知函數(shù)y=f(x)是R上的偶函數(shù)，對(duì)?x∈R都有f(x+4)=f(x)+f(2)成立.當(dāng)x1，x2∈[0,2]，且x1≠x2時(shí)，都有f?x1?-f?x2?x1-x2<0，給出下列命題：

　?、賔(2)=0;

　　②直線(xiàn)x=-4是函數(shù)y=f(x)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸;

　?、酆瘮?shù)y=f(x)在[-4,4]上有四個(gè)零點(diǎn);

　?、躥(2 014)=0.

　　其中所有正確命題的序號(hào)為_(kāi)_______.

　　解析 令x=-2，得f(-2+4)=f(-2)+f(2)，解得f(-2)=0，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為偶函數(shù)，所以f(2)=0，①正確;因?yàn)閒(-4+x)=f(-4+x+4)=f(x)，f(-4-x)=f(-4-x+4)=f(-x)=f(x)，所以f(-4+x)=f(-4-x)，即x=-4是函數(shù)f(x)的一條對(duì)稱(chēng)軸，②正確;當(dāng)x1，x2∈[0,2]，且x1≠x2時(shí)，都有f?x1?-f?x2?x1-x2<0，說(shuō)明函數(shù)f(x)在[0,2]上是單調(diào)遞減函數(shù)，又f(2)=0，因此函數(shù)f(x)在[0,2]上只有一個(gè)零點(diǎn)，由偶函數(shù)知函數(shù)f(x)在[-2,0]上也只有一個(gè)零點(diǎn)，由f(x+4)=f(x)，知函數(shù)的周期為4，所以函數(shù)f(x)在(2,6]與[-6，-2)上也單調(diào)且有f(6)=f(-6)=0，因此，函數(shù)在[-4,4]上只有2個(gè)零點(diǎn)，③錯(cuò);對(duì)于④，因?yàn)楹瘮?shù)的周期為4，即有f(2)=f(6)=f(10)=…=f(2 014)=0，④正確.

　　答案 ①②④

　　三、解答題

　　13.已知函數(shù)f(x)=loga(x+1)(a>1)，若函數(shù)y=g(x)的圖象上任意一點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)Q的軌跡恰好是函數(shù)f(x)的圖象.

　　(1)寫(xiě)出函數(shù)g(x)的解析式;

　　(2)當(dāng)x∈[0,1)時(shí)總有f(x)+g(x)≥m成立，求m的取值范圍.

　　解 (1)設(shè)P(x，y)為g(x)圖象上任意一點(diǎn)，則Q(-x，-y)是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，因?yàn)镼(-x，-y)在f(x)的圖象上，所以-y=loga(-x+1)，

　　即y=-loga(1-x)(x<1).

　　(2)f(x)+g(x)≥m，

　　即loga1+x1-x≥m.

　　設(shè)F(x)=loga1+x1-x，x∈[0,1).

　　由題意知，只要F(x)min≥m即可.

　　因?yàn)镕(x)在[0,1)上是增函數(shù)，所以F(x)min=F(0)=0.

　　故m的取值范圍是(-∞，0].

　　14.已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+1(a>0)，F(xiàn)(x)=f?x?，x>0，-f?x?，x<0.若f(-1)=0，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x均有f(x)≥0成立.

　　(1)求F(x)的表達(dá)式;

　　(2)當(dāng)x∈[-2,2]時(shí)，g(x)=f(x)-kx是單調(diào)函數(shù)，求k的取值范圍.

　　解 (1)∵f(-1)=0，∴a-b+1=0，

　　∴b=a+1，

　　∴f(x)=ax2+(a+1)x+1.

　　∵f(x)≥0恒成立，

　　∴a>0，Δ=?a+1?2-4a≤0，

　　即a>0，?a-1?2≤0.

　　∴a=1，從而b=2，∴f(x)=x2+2x+1，

　　∴F(x)=x2+2x+1 ?x>0?，-x2-2x-1 ?x<0?.

　　(2)由(1)知，g(x)=x2+2x+1-kx=x2+(2-k)x+1.

　　∵g(x)在[-2,2]上是單調(diào)函數(shù)，

　　∴k-22≤-2或k-22≥2，

　　解得k≤-2或k≥6.

　　所以k的取值范圍是(-∞，-2]∪[6，+∞).

　　15.已知函數(shù)f(x)=ex-e-x(x∈R且e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

　　(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性與單調(diào)性;

　　(2)是否存在實(shí)數(shù)t，使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0對(duì)一切x都成立?若存在，求出t;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

　　解 (1)∵f(x)=ex-1ex，且y=ex是增函數(shù)，y=-1ex是增函數(shù)，所以f(x)是增函數(shù).由于f(x)的定義域?yàn)镽，且f(-x)=e-x-ex=-f(x)，所以f(x)是奇函數(shù).

　　(2)由(1)知f(x)是增函數(shù)和奇函數(shù)，∴f(x-t)+f(x2-t2)≥0對(duì)一切x∈R恒成立

　　?f(x2-t2)≥f(t-x)對(duì)一切x∈R恒成立

　　?x2-t2≥t-x對(duì)一切x∈R恒成立

　　?t2+t≤x2+x對(duì)一切x∈R恒成立

　　?t+122≤x+122min對(duì)一切x∈R恒成立

　　?t+122≤0?t=-12.

　　即存在實(shí)數(shù)t=-12，使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0對(duì)一切x都成立.

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