函數和不等式專項訓練題

試題時間：2021-08-31 手機版

函數和不等式專項訓練題

　　一、選擇題

　　1.(2014?北京卷)下列函數中，定義域是R且為增函數的是?( ).

　　A.y=e-x ?B.y=x3

　　C.y=ln x ?D.y=|x|

　　解析依據函數解析式，通過判斷定義域和單調性，逐項驗證.A項，函數定義域為R，但在R上為減函數，故不符合要求;B項，函數定義域為R，且在R上為增函數，故符合要求;C項，函數定義域為(0，+∞)，不符合要求;D項，函數定義域為R，但在(-∞，0]上單調遞減，在[0，+∞)上單調遞增，不符合要求.

　　答案 B

　　2.(2014?臨沂一模)函數f(x)=lnxx-1+x12 的定義域為?( ).

　　A.(0，+∞) ?B.(1，+∞)

　　C.(0,1) ?D.(0,1)∪(1，+∞)

　　解析要使函數有意義，則有x≥0，xx-1>0，

　　即x≥0，x?x-1?>0，解得x>1.

　　答案 B

　　3.(2014?江西卷)已知函數f(x)=a?2x，x≥0，2-x，x<0(a∈R)，若f[f(-1)]=1，則a=??( ).

　　A.14 ?B.12

　　C.1 ?D.2

　　解析根據分段函數的解析式列方程求字母的取值.

　　由題意得f(-1)=2-(-1)=2，f[f(-1)]=f(2)=a?22=4a=1，∴a=14.

　　答案 A

　　4.函數f(x)的圖象向右平移1個單位長度，所得圖象與曲線y=ex關于y軸對稱，則f(x)=??( ).

　　A.ex+1 ?B.ex-1

　　C.e-x+1 ?D.e-x-1

　　解析與曲線y=ex圖象關于y軸對稱的曲線為y=e-x，函數y=e-x的圖象向左平移一個單位得到函數f(x)的圖象，即f(x)=e-(x+1)=e-x-1.

　　答案 D

　　5.(2014?山東卷)已知函數y=loga(x+c)(a，c為常數，其中a>0，a≠1)的圖象如圖，則下列結論成立的是??( ).

　　A.a>1，c>1

　　B.a>1,0

　　C.01

　　D.0

　　解析依據對數函數的圖象和性質及函數圖象的平移變換求解.由對數函數的圖象和性質及函數圖象的平移變換知0

　　答案 D

　　6.(2016?浙江卷)已知x，y為正實數，則?( ).

　　A.2lg x+lg y=2lg x+2lg y ?B.2lg(x+y)=2lg x?2lg y

　　C.2lg x?lg y=2lg x+2lg y ?D.2lg(xy)=2lg x?2lg y

　　解析 2lg x?2lg y=2lg x+lg y=2lg(xy).故選D.

　　答案 D

　　7.(2014?安徽卷)設a=log37，b=21.1，c=0.83.1，則?( ).

　　A.b

　　C.c

　　解析利用“媒介”法比較大小.∵a=log37，∴12.∵c=0.83.1，∴0

　　答案 B

　　二、填空題

　　8.已知f(x)=ln(1+x)的定義域為集合M，g(x)=2x+1的'值域為集合N，則M∩N=________.

　　解析由對數與指數函數的知識，得M=(-1，+∞)，N=(1，+∞)，故M∩N=(1，+∞).

　　答案 (1，+∞)

　　9.(2014?大綱全國卷改編)奇函數f(x)的定義域為R.若f(x+2)為偶函數，且f(1)=1，則f(8)+f(9)=______________.

　　解析由函數的奇偶性和對稱性推出周期性，利用周期性求函數值.因為f(x)為R上的奇函數，所以f(-x)=-f(x)，f(0)=0.因為f(x+2)為偶函數，所以f(x+2)=f(-x+2)，所以f(x+4)=f(-x)=-f(x)，所以f(x+8)=f(x)，即函數f(x)的周期為8，故f(8)+f(9)=f(0)+f(1)=1.

　　答案 1

　　10.(2014?新課標全國Ⅰ卷)設函數f(x)=ex-1，x<1，x13， x≥1，則使得f(x)≤2成立的x的取值范圍是________.

　　解析結合題意分段求解，再取并集.當x<1時，x-1<0，ex-1

　　答案 (-∞，8]

　　11.(2016?濟南模擬)已知函數f(x)=x3+x，對任意的m∈[-2,2]，f(mx-2)+f(x)<0恒成立，則x的取值范圍是________.

　　解析 f′(x)=3x2+1>0，∴f(x)在R上為增函數.

　　又f(x)為奇函數，由f(mx-2)+f(x)<0知，f(mx-2)

　　令g(m)=mx+x-2，由m∈[-2,2]知g(m)<0恒成立，可得g?-2?=-x-2<0，g?2?=3x-2<0，∴-2

　　答案 -2，23

　　12.已知函數y=f(x)是R上的偶函數，對?x∈R都有f(x+4)=f(x)+f(2)成立.當x1，x2∈[0,2]，且x1≠x2時，都有f?x1?-f?x2?x1-x2<0，給出下列命題：

　　①f(2)=0;

　　②直線x=-4是函數y=f(x)圖象的一條對稱軸;

　　③函數y=f(x)在[-4,4]上有四個零點;

　　④f(2 014)=0.

　　其中所有正確命題的序號為________.

　　解析令x=-2，得f(-2+4)=f(-2)+f(2)，解得f(-2)=0，因為函數f(x)為偶函數，所以f(2)=0，①正確;因為f(-4+x)=f(-4+x+4)=f(x)，f(-4-x)=f(-4-x+4)=f(-x)=f(x)，所以f(-4+x)=f(-4-x)，即x=-4是函數f(x)的一條對稱軸，②正確;當x1，x2∈[0,2]，且x1≠x2時，都有f?x1?-f?x2?x1-x2<0，說明函數f(x)在[0,2]上是單調遞減函數，又f(2)=0，因此函數f(x)在[0,2]上只有一個零點，由偶函數知函數f(x)在[-2,0]上也只有一個零點，由f(x+4)=f(x)，知函數的周期為4，所以函數f(x)在(2,6]與[-6，-2)上也單調且有f(6)=f(-6)=0，因此，函數在[-4,4]上只有2個零點，③錯;對于④，因為函數的周期為4，即有f(2)=f(6)=f(10)=…=f(2 014)=0，④正確.

　　答案 ①②④

　　三、解答題

　　13.已知函數f(x)=loga(x+1)(a>1)，若函數y=g(x)的圖象上任意一點P關于原點對稱的點Q的軌跡恰好是函數f(x)的圖象.

　　(1)寫出函數g(x)的解析式;

　　(2)當x∈[0,1)時總有f(x)+g(x)≥m成立，求m的取值范圍.

　　解 (1)設P(x，y)為g(x)圖象上任意一點，則Q(-x，-y)是點P關于原點的對稱點，因為Q(-x，-y)在f(x)的圖象上，所以-y=loga(-x+1)，

　　即y=-loga(1-x)(x<1).

　　(2)f(x)+g(x)≥m，

　　即loga1+x1-x≥m.

　　設F(x)=loga1+x1-x，x∈[0,1).

　　由題意知，只要F(x)min≥m即可.

　　因為F(x)在[0,1)上是增函數，所以F(x)min=F(0)=0.