基本不等式訓練題

　　1．若xy＞0，則對 xy＋yx說法正確的是( )

　　A．有最大值－2 B．有最小值2

　　C．無最大值和最小值 D．無法確定

　　答案：B

　　2．設x，y滿足x＋y＝40且x，y都是正整數，則xy的最大值是( )

　　A．400 B．100

　　C．40 D．20

　　答案：A

　　3．已知x≥2，則當x＝____時，x＋4x有最小值____．

　　答案：2 4

　　4．已知f(x)＝12x＋4x.

　　(1)當x＞0時，求f(x)的最小值；

　　(2)當x＜0 時，求f(x)的最大值．

　　解：(1)∵x＞0，∴12x，4x＞0.

　　∴12x＋4x≥212x4x＝83.

　　當且僅當12x＝4x，即x＝3時取最小值83，

　　∴當x＞0時，f(x)的最小值為83.

　　(2)∵x＜0，∴－x＞0.

　　則－f(x)＝12－x＋(－4x)≥212－x－4x＝83，

　　當且僅當12－x＝－4x時，即x＝－3時取等號．

　　∴當x＜0時，f(x)的最大值為－83.

　　一、選擇題

　　1．下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是( )

　　A．x＋12x B．x2－1＋1x2－1

　　C．2x＋2－x D．x(1－x)

　　答案：C

　　2．函數y＝3x2＋6x2＋1的最小值是( )

　　A．32－3 B．－3

　　C．62 D．62－3

　　解析：選D.y＝3(x2＋2x2＋1)＝3(x2＋1＋2x2＋1－1)≥3(22－1)＝62－3.

　　3．已知m、n∈R，mn＝100，則m2＋n2的最小值是( )

　　A．200 B．100

　　C．50 D．20

　　解析：選A.m2＋n2≥2mn＝200 高中英語，當且僅當m＝n時等號成立．

　　4．給出下面四個推導過程：

　　①∵a，b∈(0，＋∞)，∴ba＋ab≥2baab＝2；

　　②∵x，y∈(0，＋∞)，∴lgx＋lgy≥2lgxlgy；

　　③∵a∈R，a≠0，∴4a＋a ≥24aa＝4；

　　④∵x，y∈R，，xy＜0，∴xy＋yx＝－[(－xy)＋(－yx)]≤－2－xy－yx＝－2.

　　其中正確的推導過程為( )

　　A．①② B．②③

　　C．③④ D．①④

　　解析：選D.從基本不等式成立的條件考慮．

　　①∵a，b∈(0，＋∞)，∴ba，ab∈(0，＋∞)，符合基本不等式的條件，故①的推導過程正確；

　　②雖然x，y∈(0，＋∞)，但當x∈(0,1)時，lgx是負數，y∈(0,1)時，lgy是負數，∴②的推導過程是錯誤的；

　　③∵a∈R，不符合基本不等式的條件，

　　∴4a＋a≥24aa＝4是錯誤的；

　　④由xy＜0得xy，yx均為負數，但在推導過程中將全體xy＋yx提出負號后，(－xy)均變為正數，符合基本不等式的條件，故④正確．

　　5．已知a＞0，b＞0，則1a＋1b＋2ab的最小值是( )

　　A．2 B．22

　　C．4 D．5

　　解析：選C.∵1a＋1b＋2ab≥2ab＋2ab≥22×2＝4.當且僅當a＝bab＝1時，等號成立，即a＝b＝1時，不等式取得最小值4.

　　6．已知x、y均為正數，xy＝8x＋2y，則xy有( )

　　A．最大值64 B．最大值164

　　C．最小值64 D．最小值164

　　解析：選C.∵x、y均為正數，

　　∴xy＝8x＋2y≥28x2y＝8xy，

　　當且僅當8x＝2y時等號成立．

　　∴xy≥64.

　　二、填空題

　　7．函數y＝x＋1x＋1(x≥0)的最小值為________．

　　答案：1

　　8．若x＞0，y＞0，且x＋4y＝1，則xy有最________值，其值為________．

　　解析：1＝x＋4y≥2x4y＝4xy，∴xy≤116.

　　答案：大 116

　　9．(2010年山東卷)已知x，y∈R＋，且滿足x3＋y4＝1，則xy的最大值為________．

　　解析：∵x＞0，y＞0且1＝x3＋y4≥2xy12，∴xy≤3.

　　當且僅當x3＝y4時取等號．

　　答案：3

　　三、解答題

　　10．(1)設x＞－1，求函數y＝x＋4x＋1＋6的最小值；

　　(2)求函數y＝x2＋8x－1(x＞1)的最值．

　　解：(1)∵x＞－1，∴x＋1＞0.

　　∴y＝x＋4x＋1＋6＝x＋1＋4x＋1＋5

　　≥2 x＋14x＋1＋5＝9，

　　當且僅當x＋1＝4x＋1，即x＝1時，取等號．

　　∴x＝1時，函數的最小值是9.

　　(2)y＝x2＋8x－1＝x2－1＋9x－1＝(x＋1)＋9x－1

　　＝(x－1)＋9x－1＋2.∵x＞1，∴x－1＞0.

　　∴(x－1)＋9x－1＋2≥2x－19x－1＋2＝8.

　　當且僅當x－1＝9x－1，即x＝4時等號成立，

　　∴y有最小值8.

　　11．已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，求證：(1a－1)(1b－1)(1c－1)≥8.

　　證明：∵a，b，c∈(0，＋∞)，a＋b＋c＝1，

　　∴1a－1＝1－aa＝b＋ca＝ba＋ca≥2bca，

　　同理1b－1≥2acb，1c－1≥2abc，

　　以上三個不等式兩邊分別相乘得

　　(1a－1)(1b－1)(1c－1)≥8.

　　當且僅當a＝b＝c時取等號．

　　12．某造紙廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為200平方米的二級污水處理池，池的深度一定，池的外圈周壁建造單價為每米400元，中間一條隔壁建造單價為每米100元，池底建造單價每平方米60元(池壁忽略不計)．

　　問：污水處理池的長設計為多少米時可使總價最低．

　　解：設污水處理池的長為x米，則寬為200x米．

　　總造價f(x)＝400×(2x＋2×200x)＋100×200x＋60×200

　　＝800×(x＋225x)＋12000

　　≥1600x225x＋12000

　　＝36000(元)

　　當且僅當x＝225x(x＞0)，

　　即x＝15時等號成立．

　　女主人

　　四位女士在玩一種紙牌游戲，其規則是：（a）在每一圈中，某方首先出一張牌，其余各方就要按這張先手牌的花色出牌（如果手中沒有這種花色，可以出任何其他花色的牌）；（b）每一圈的獲勝者即取得下一圈的首先出牌權。現在她們已經打了十圈，還要打三圈。

　　（1）在第十一圈，阿爾瑪首先出一張梅花，貝絲出方塊，克利奧出紅心，黛娜出黑桃，但后三人的這個先后順序不一定是她們的出牌順序。

　　（2）女主人在第十二圈獲勝，并且在第十三圈首先出了一張紅心。

　　（3）在這最后三圈中，首先出牌的女士各不相同。

　　（4）在這最后三圈的每一圈中，四種花色都有人打出，而且獲勝者憑的都是一張“王牌”。（王牌是某一種花色中的任何一張牌：（a）在手中沒有先手牌花色的情況下，可以出王牌――這樣，一張王牌將擊敗其他三種花色中的任何牌；（b）與其他花色的牌一樣，王牌可以作為先手牌打出。）

　　（5）在這最后三圈中，獲勝者各不相同。