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一次函數應用題含答案

試題 時間:2021-08-31 手機版

一次函數應用題含答案

  一、 方案優化問題

  我市某鄉A、B兩村盛產柑桔,A村有柑桔200噸,B村有柑桔300噸.現將這些柑桔運到C、D兩個冷藏倉庫,已知C倉庫可儲存240噸,D倉庫可儲存260噸;從A村運往C、D兩處的費用分別為每噸20元和25元,從B村運往C、D兩處的費用分別為每噸15元和18元.設從A村運往C倉庫的柑桔重量為x噸,A、B兩村運往兩倉庫的柑桔運輸費用分別為yA元和yB元.

  (1)請填寫下表,并求出yA,yB與x之間的函數關系式;

  (2)試討論A、B兩村中,哪個村花的運費較少;

  (3)考慮到B村的經濟承受能力,B村的柑桔運費不得超過4830元.在這種情況下,請問該怎樣調運才能使兩村運費之和最小?求出這個最小值.

  解:(1)yA=-5x+5000(0≤x≤200),

  yB=3x+4680(0≤x≤200).

  (2)當yA=yB時,-5x+5000=3x+4680,x=40;

  當yA>yB時,-5x+5000>3x+4680,x<40;

  當yA<yb時,-5x+5000<3x+4680,x style="padding: 0px; margin: 0px; font-family: Arial, 宋體; font-size: 14px; white-space: normal; background-color: rgb(255, 255, 255);">40.

  當x=40時,yA=yB即兩村運費相等;

  當0≤x<40時,ya>yB即B村運費較少;

  當40<x≤200時,ya<yb即a村費用較少.

  (3)由yB≤4830得3x+4680≤4830∴x≤50

  設兩村的運費之和為y,∴y=yA+yB.

  即:y=-2x+9680.

  又∵0≤x≤50時,y隨x增大而減小,

  ∴當x=50時,y有最小值,y最小值=9580(元).

  答:當由A村調往C倉庫的柑桔重量為50噸、調往D倉庫為150噸,由B村調往C倉庫為190噸、調往D倉庫110噸的時候,兩村的運費之和最小,最小費用為9580元.

  要點提示:解答方案比較問題,求函數式時,對有圖象的,多用待定系數法求;對沒有給出圖象的,直接依題意列式子;方案比較問題通常與不等式、方程相聯系;比較方案,即比較同一自變量所對應的函數值,要將函數問題轉化為方程、不等式問題;解答方案比較問題尤其要注意:不同的區間,對應的大小關系也多不同.

  二、利潤最大化問題

  某個體小服裝店主準備在夏季來臨前,購進甲、乙兩種T恤.兩種T恤的相關信息如下表:

  根據上述信息,該店決定用不少于6195元,但不超過6299元的資金購進這兩種T恤共100件.請解答下列問題:

  (1)該店有哪幾種進貨方案?

  (2)該店按哪種方案進貨所獲利潤最大,最大利潤是多少?

  (3)兩種T恤在夏季很快銷售一空,該店決定再拿出385元全部用于購進這兩種T恤,在進價和售價不變的情況下,全部售出.請直接寫出該店按哪種方案進貨才能使所獲利潤最大.

  解:(1)設購進甲種T恤x件,則購進乙種T恤(100-x)件.

  可得,6195≤35x+70(100-x)≤6299.

  解得,20■≤x≤23.

  ∵x為解集內的正整數,∴x=21,22,23.

  ∴有三種進貨方案:

  方案一:購進甲種T恤21件,購進乙種T恤79件;

  方案二:購進甲種T恤22件,購進乙種T恤78件;

  方案三:購進甲種T恤23件,購進乙種T恤77件.

  (2)設所獲得利潤為W元.

  W=30x+40(100-x)=-10x+4000.

  ∵k=-10<0,∴W隨x的增大而減小.

  ∴當x=21時,W=3790.

  該店購進甲種T恤21件,購進乙種T恤79件時獲利最大,最大利潤為3790元.

  (3)購進甲種T恤9件、乙種T恤1件.

  要點提示:在一次函數y=kx+b中,x、y均可取一切實數.如果縮小x的取值范圍,則其函數值就會出現最大值或最小值.求一次函數的最大值、最小值,一般都是采用“極端值法”,即用自變量的端點值,根據函數的增減性,對應求出函數的端點值(最值).

  三、行程問題

  從甲地到乙地,先是一段平路,然后是一段上坡路.小明騎車從甲地出發,到達乙地后立即原路返回甲地,途中休息了一段時間.假設小明騎車在平路、上坡、下坡時分別保持勻速前進.已知小明騎車上坡的速度比在平路上的速度每小時少5km,下坡的速度比在平路上的速度每小時多5km.設小明出發x h后,到達離甲地y km的地方,圖1中的折線OABCDE表示x與y之間的函數關系.

  (1)小明騎車在平路上的速度為 km/h;他途中休息了 h;

  (2)求線段AB、BC所表示的y與x之間的函數關系式;

  (3)如果小明兩次經過途中某一地點的時間間隔為0.15h,那么該地點離甲地多遠?

  解:(1)小明騎車在平路上的速度為:

  4.5÷0.3=15,

  ∴小明騎車在上坡路的速度為:15-5=10,

  小明騎車在下坡路的速度為:15+5=20.

  ∴小明返回的時間為:

  (6.5-4.5)÷20+0.3=0.4小時,

  ∴小明騎車到達乙地的時間為:   0.3+2÷10=0.5.

  ∴小明途中休息的時間為:

  1-0.5-0.4=0.1小時.

  故答案為:15,0.1

  (2)小明騎車到達乙地的時間為0.5小時,

  ∴B(0.5,6.5).

  小明下坡行駛的時間為:2÷20=0.1,

  ∴C(0.6,4.5).

  設直線AB的解析式為y=k1x+b1,由題意

  得4.5=0.3k1+b16.5=0.5k1+b1,解得:k1=10b1=1.5,

  ∴y=10x+1.5(0.3≤x≤0.5);

  設直線BC的解析式為y=k2x+b2,由題意

  得6.5=0.5k2+b24.5=0.6k2+b2,解得:k2=-20b2=16.5,

  ∴y=-20x+16.5(0.5<x≤0.6)

  (3)小明兩次經過途中某一地點的時間間隔為0.15h,由題意可以得出這個地點只能在坡路上.設小明第一次經過該地點的時間為t,則第二次經過該地點的時間為(t+0.15)h,由題意

  得10t+1.5=-20(t+0.15)+16.5,

  解得:t= 0.4,∴y=10×0.4+1.5=5.5,

  ∴該地點離甲地5.5km.

  要點提示:行程類一次函數試題以圖象、點坐標相組合的形式呈現,靈活性強,對學生分析問題、解決問題的能力要求較高,重在考查學生的識圖能力和創新意識.解決圖象中的行程問題除了要掌握好路程、速度和時間三者之間的基本關系外,最重要的'是要學會從圖象中獲取信息,理清各變量之間的關系,然后根據題意選擇適當的解題方法.

  四、分段計費問題

  已知某市2013年企業用水量x(噸)與該月應交的水費y(元)之間的函數關系.

  (1)當x≥50時,求y關于x的函數關系式;

  (2)若某企業2013年10月份的水費為620元,求該企業2013年10月份的用水量;

  (3)為實施省委“五水共治”發展戰略,鼓勵企業節約用水,該市自2014年1月開始對月用水量超過80噸的企業加收污水處理費,規定若企業的月用水量x超過80噸,則除按2013年收費標準收取水費外,超過80噸部分每噸另加收■元.若某企業2014年3月份的水費和污水處理費共600元,求這個企業該月的用水量.

  解:(1)設y關于x的函數關系式y=kx+b,

  ∵直線y=kx+b經過點(50,200),(60,260)

  ∴50k+b=20060k+b=260解得k=6b=-100

  ∴y關于x的函數關系式是y=6x-100(x≥50);

  (2)由可知,當y=620時,x>50

  ∴6x-100=620,解得x=120.

  答:該企業2013年10月份的用水量為120噸.

  (3)由題意得6x-100+■(x-80)=600,

  化簡得x2+40x-14000=0

  解得:x1=100,x2=-140(不合題意,舍去).

  答:這家企業2014年3月份的用水量是100噸.

  要點提示:分段函數的特征是不同的自變量區間所對應的函數式不同,其函數圖象是一個折線.解決分段計費問題,關鍵是要與所在的區間相對應.分段函數中“折點”既是兩段函數的分界點,同時又分別在兩段函數上,在求解析式時要用好“折點”坐標,同時在分析圖象時還要注意“折點”所表示的實際意義,“折點”的縱坐標通常是不同區間的最值.

  2015年第3期《銳角三角函數》參考答案

  1.D;2.A;3.B;4.■;5.9■;6.2■;7.120;

  8. 解:(1)■-3tan30°+(π-4)0-(■)-1=2■-3×■+1-2=■-1

  (2)■(2cos45°-sin60°)+■

  =■(2×■-■)+■

  =2-■+■=2

  9. 解:過點A作直線BC的垂線,垂足為D.

  則∠CDA=90°,

  ∠CAD=60°,∠BAD=30°,CD=240米,

  在Rt△ACD中,

  tan∠CAD=■,

  ∴AD=■=■=80■,

  在Rt△ABD中,tan∠BAD=■,

  ∴BD=ADtan30°=80■×■=80,

  ∴BC=CD-BD=240-80=160.

  答:這棟大樓的高為160米.

  10.解:在Rt△CDB中,∠C=90°,

  BC=■=■=4,

  ∴tan∠CBD=■.

  在Rt△ABC中,∠C=90°,

  AB=■=4■,

  ∴sinA=■.

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