1，如圖矩形ABCD對角線AC、BD交于O，E F分別是OA、OB的中點(diǎn)(1)求證△ADE≌△BCF：(2)若AD=4cm，AB=8cm，求CF的長。
證明：(1)在矩形ABCD中，AC,BD為對角線，
∴AO=OD=OB=OC
∴∠DAO=∠ADO=∠CBO=∠BCO
∵E,F為OA,OB中點(diǎn)
∴AE=BF=1/2AO=1/2OB
∵AD=BC, ∠DAO=∠CBO,AE=BF
∴△ADE≌△BCF
(2)過F作MN⊥DC于M,交AB于N
∵AD=4cm，AB=8cm
∴BD=4根號5
∵BF:BD=NF:MN=1：4
∴NF=1，MF=3
∵EF為△AOB中位線
∴EF=1/2AB=4cm
∵四邊形DCFE為等腰梯形
∴MC=2cm
∴FC=根號13cm。
2，如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=2DC，對角線AC⊥BD，垂足為F，過點(diǎn)F作EF∥AB，交AD于點(diǎn)E，CF=4cm。
(1)求證：四邊形ABFE是等腰梯形;
(2)求AE的長。
(1)證明：過點(diǎn)D作DM⊥AB，
∵DC∥AB，∠CBA=90°，
∴四邊形BCDM為矩形.
∴DC=MB.
∵AB=2DC，
∴AM=MB=DC.
∵DM⊥AB，
∴AD=BD.
∴∠DAB=∠DBA.
∵EF∥AB，AE與BF交于點(diǎn)D，即AE與FB不平行，
∴四邊形ABFE是等腰梯形.
(2)解：∵DC∥AB，
∴△DCF∽△BAF。
∴CD AB =CF AF =1 2。
∵CF=4cm，
∴AF=8cm。
∵AC⊥BD，∠ABC=90°，
在△ABF與△BCF中，
∵∠ABC=∠BFC=90°，
∴∠FAB+∠ABF=90°，
∵∠FBC+∠ABF=90°，
∴∠FAB=∠FBC，
∴△ABF∽△BCF，即BF CF =AF BF ，
∴BF2=CFAF.
∴BF=4 2 cm.
∴AE=BF=4 2 cm.
3，如圖，用三個全等的菱形ABGH、BCFG、CDEF拼成平行四邊形ADEH，連接AE與BG、CF分別交于P、Q，
(1)若AB=6，求線段BP的長;
(2)觀察圖形，是否有三角形與△ACQ全等?并證明你的結(jié)論
解：(1)∵菱形ABGH、BCFG、CDEF是全等菱形
∴BC=CD=DE=AB=6，BG∥DE
∴AD=3AB=3×6=18，∠ABG=∠D，∠APB=∠AED
∴△ABP∽△ADE
∴BP DE =AB AD∴BP=AB AD DE=6 18 ×6=2;
(2)
∵菱形ABGH、BCFG、CDEF是全等的菱形
∴AB=BC=EF=FG
∴AB+BC=EF+FG
∴AC=EG
∵AD∥HE
∴∠1=∠2
∵BG∥CF
∴∠3=∠4
∴△EGP≌△ACQ。
4，已知點(diǎn)E,F在三角形ABC的邊AB所在的直線上,且AE=BF，F(xiàn)H//EG//AC，F(xiàn)H、EC分別交邊BC所在的直線于點(diǎn)H，G
1 如果點(diǎn)E。F在邊AB上，那么EG+FH=AC，請證明這個結(jié)論
2 如果點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)F在AB的延長線上，那么線段EG，F(xiàn)H，AC的長度關(guān)系是什么?
3 如果點(diǎn)E在AB的反向延長線上，點(diǎn)F在AB的延長線上，那么線段EG，F(xiàn)H，AC的長度關(guān)系是什么?
4 請你就1，2，3的結(jié)論，選擇一種情況給予證明
解：(1)∵FH∥EG∥AC，
∴∠BFH=∠BEG=∠A，△BFH∽△BEG∽△BAC.
∴BF/FH=BE/EG=BA/AC
∴BF+BE/FH+EG=BA/AC
又∵BF=EA，
∴EA+BE/FH+EG=AB/AC
∴AB/FH+EG=AB/AC.
∴AC=FH+EG.
(2)線段EG、FH、AC的`長度的關(guān)系為：EG+FH=AC.
證明(2)：過點(diǎn)E作EP∥BC交AC于P，
∵EG∥AC，
∴四邊形EPCG為平行四邊形.
∴EG=PC.
∵HF∥EG∥AC，
∴∠F=∠A，∠FBH=∠ABC=∠AEP.
又∵AE=BF，
∴△BHF≌△EPA.
∴HF=AP.
∴AC=PC+AP=EG+HF.
即EG+FH=AC.
5，如圖是一個常見鐵夾的側(cè)面示意圖，OA，OB表示鐵夾的兩個面，C是軸，CD⊥OA于點(diǎn)D，已知DA=15mm，DO=24mm，DC=10mm，我們知道鐵夾的側(cè)面是軸對稱圖形，請求出A、B兩點(diǎn)間的距離。
解：連接AB，同時連接OC并延長交AB于E，
因?yàn)閵A子是軸對稱圖形，故OE是對稱軸，
∴OE⊥AB，AE=BE，
∴Rt△OCD∽Rt△OAE，
∴OC:OA = CD:AE
∵OC=OD+CD ∴OC =26，∴AE= =15，∵AB=2AE ∴ AB =30(mm)。(8分)
答：AB兩點(diǎn)間的距離為30mm。
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