一、求因數(shù)的個(gè)數(shù)類(lèi)應(yīng)用題
1、筐內(nèi)有96個(gè)蘋(píng)果，如果不一次拿出，也不一個(gè)一個(gè)地拿，要求每次拿出的個(gè)數(shù)同樣多，拿完時(shí)又正好不多不少，共有多少種拿法？
分析解答：依題意，每次拿出的蘋(píng)果數(shù)×拿的次數(shù)=96，這個(gè)等式說(shuō)明了什么呢？說(shuō)明了每次拿的蘋(píng)果數(shù)和拿的次數(shù)是96的因數(shù)（或約數(shù)），這樣一分析，我們就知道解答此題實(shí)際上是要求96的因數(shù)分個(gè)數(shù)有多少個(gè)。
96=3×25，因因數(shù)個(gè)數(shù)定理公式知：96的因數(shù)個(gè)數(shù)是：（1+1）×（5+1）=12個(gè)；
12個(gè)因數(shù)包括了1和96這兩個(gè)因數(shù)，題目要求不能一次拿完，即：1次×96個(gè)=96個(gè)，這種情況要排除；同時(shí)也不能一個(gè)一個(gè)地拿，即：96次×1個(gè)=96個(gè)也要排除；
所以共有：12—2=10（種）拿法。
2、（1996年日本算術(shù)奧林匹克競(jìng)賽）有50張卡片，分別寫(xiě)著1—50這50個(gè)數(shù)字，正反兩面寫(xiě)的數(shù)字相同，卡片一面是紅，一面是藍(lán)，某班有50名學(xué)生，老師把50張卡片中藍(lán)色的一面朝上擺在桌子上，對(duì)同學(xué)們說(shuō)：“請(qǐng)你們按學(xué)號(hào)順序逐個(gè)到前面來(lái)翻卡片，規(guī)則是：凡是卡片上的數(shù)是自己學(xué)號(hào)的倍數(shù)，就把它翻過(guò)來(lái)，藍(lán)翻紅，紅翻藍(lán)”，那么當(dāng)每個(gè)同學(xué)都翻完后，紅色朝上的卡片有幾張？
分析解答：由“凡是卡片上的數(shù)是學(xué)號(hào)的倍數(shù)，把它翻過(guò)來(lái)”知道，卡片翻幾次的由卡片上的數(shù)的因數(shù)個(gè)數(shù)決定的，卡片上的數(shù)的因數(shù)個(gè)數(shù)是幾，就翻動(dòng)幾次。那么一張卡片翻動(dòng)幾次紅色朝上呢？我們需要找規(guī)律，怎樣找規(guī)律呢？老師講過(guò)——從特殊到一般找規(guī)律。我們要一下找出50張卡片的規(guī)律有困難，我們只研究一張卡片。開(kāi)始時(shí)是“藍(lán)色朝上”——翻動(dòng)一次，紅色朝上；——翻動(dòng)兩次藍(lán)色朝上（還原到原來(lái)的狀態(tài)）——翻動(dòng)3次又的紅色朝上——翻動(dòng)4次藍(lán)色朝上……；從中找到規(guī)律：翻動(dòng)奇數(shù)次的卡片是紅色朝上的；翻動(dòng)偶數(shù)次的卡片是藍(lán)色朝上。下面思考，1——50這50個(gè)數(shù)中那些數(shù)的因數(shù)個(gè)數(shù)是奇數(shù)？我們學(xué)習(xí)了因數(shù)的個(gè)數(shù)定理：一個(gè)完全平方數(shù)的因數(shù)是奇數(shù)個(gè)，其它的數(shù)的因數(shù)是偶數(shù)個(gè)（包括1和自身因數(shù)），這樣問(wèn)題就得到了解決，看1——50中那幾個(gè)數(shù)是完全平方數(shù)，顯然只有：1，4，9，16，25，36，49。下面的問(wèn)題就是怎么敘述解答過(guò)程，
關(guān)于怎么敘述問(wèn)題，這是現(xiàn)在五年級(jí)學(xué)生面臨的一個(gè)難點(diǎn)，因?yàn)榇祟}的解答過(guò)程包含證明推理，而命題的證明要到初中二年級(jí)才開(kāi)始學(xué)習(xí)。為了家長(zhǎng)幫助學(xué)生建立這方面的能力，什么是推理和證明？推理是反映從已知判斷得出新的判斷的思維形式。一般地講邏輯推理只有兩種形式，即：假設(shè)判斷——如果A 推出 B（大前提），如果有A這個(gè)條件（小前提），則必定有B（結(jié)論）；第二種形式就是選言判斷，或者B成立或者B的否定成立（大前提），如果B的否定不成立，（小前提），則必有B成立（結(jié)論）。數(shù)學(xué)問(wèn)題解答過(guò)程雖然不必規(guī)定唯一的敘述形式，但應(yīng)有統(tǒng)一的要求，即敘述形式應(yīng)合乎邏輯。五年級(jí)學(xué)生沒(méi)有學(xué)習(xí)命題的證明，只要能夠把推理的過(guò)程說(shuō)清楚就可以了，現(xiàn)在說(shuō)明推理的過(guò)程是有一定的困難，不要緊，從現(xiàn)在去慢慢練習(xí)，也為上中學(xué)作準(zhǔn)備。下面敘述如下：
解答示范：每張卡片翻動(dòng)奇數(shù)下紅色朝上，根據(jù)規(guī)則，凡是卡片上的數(shù)是學(xué)生學(xué)號(hào)的倍數(shù)，就把卡片翻動(dòng)一次。也就是1—50這50個(gè)數(shù)它有多少個(gè)因數(shù)，卡片就翻動(dòng)它的因數(shù)個(gè)次數(shù)。因?yàn)橥耆椒綌?shù)的因數(shù)個(gè)數(shù)是奇數(shù)，1——50中完全平方數(shù)“1，4，9，16，25，36，49”的因數(shù)是奇數(shù)個(gè)，這些卡片被翻動(dòng)了奇數(shù)次，所以，紅色卡片朝上的一共有7張，它們分別是：寫(xiě)有數(shù)的“1，4，9，16，25，36，49”卡片。
3、在100至300之間，只有三個(gè)因數(shù)的數(shù)是多少？
分析及解答：通過(guò)上面一題的解答，我們知道“完全平方數(shù)的因數(shù)個(gè)數(shù)是奇數(shù)個(gè)”，100至300之間的數(shù)的因數(shù)個(gè)數(shù)只有3個(gè)的數(shù)一定是完全平方數(shù)。但要清楚是不是完全平方數(shù)的因數(shù)都是3個(gè)呢？我們研究一下，42=16是完全平方數(shù)，它的因數(shù)個(gè)數(shù)是：42=24，根據(jù)學(xué)習(xí)過(guò)的因數(shù)個(gè)數(shù)定理：16的因數(shù)個(gè)數(shù)是：4+1=5個(gè)。同學(xué)們發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律沒(méi)有？——只有質(zhì)數(shù)的平方的數(shù)的因數(shù)是3個(gè)，如22，32，，52，72，112，132，……，我們把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求“100至300之間有那幾個(gè)數(shù)是質(zhì)數(shù)的平方的數(shù)”。
解答：因?yàn)橹挥匈|(zhì)數(shù)的平方的數(shù)的因數(shù)是3個(gè)，在100至300之間只有7個(gè)完全平方數(shù)：112，122，……172，但只有11，13，17是質(zhì)數(shù)。所以只有112=121，132=169，172=289這三個(gè)數(shù)的因數(shù)是3個(gè)。
二、分解質(zhì)因數(shù)類(lèi)應(yīng)用題
1、有4個(gè)小朋友，他們的年齡恰好一個(gè)比一個(gè)大1歲，并且他們年齡的乘積是360，那么其中年齡最大的一個(gè)是多少歲？
分析解答——像這種題，有的地方中考都出過(guò)，主要考察學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)的能力。對(duì)于小學(xué)生此題解答的思考不會(huì)出現(xiàn)干擾，但中學(xué)生因?yàn)榉匠痰闹R(shí)比較牢固，認(rèn)為問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系明顯，列方程解答一定能夠解出來(lái)。設(shè)4個(gè)人的年齡分別是：X， X+1， X+2， X+3列方程是：X（X+1）（X+2）（X+3）=360， 這個(gè)方程是高次方程，一般中學(xué)生是解不出來(lái)，只有學(xué)習(xí)了奧數(shù)的同學(xué)才有辦法解答。下面用學(xué)習(xí)過(guò)小學(xué)奧數(shù)“轉(zhuǎn)化的思想”老師解答一下，再次說(shuō)明，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)方法，看看小學(xué)奧數(shù)學(xué)習(xí)過(guò)的“轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想”的作用。
X（X+1）（X+2）（X+3）=360， 高次方程我們通過(guò)轉(zhuǎn)化——把它轉(zhuǎn)化學(xué)習(xí)過(guò)的知識(shí)處理：初中一元二次方程。
原方程變形為：（X2+3X）（X2+3X+2）—360=0；
（X2+3X）2 +2（X2+3X）—360=0
上面轉(zhuǎn)化為我們學(xué)習(xí)過(guò)的一元二次方程了，這中關(guān)鍵的一步。
設(shè)：（X2+3X）=Y， 即：Y2+2Y—360=0， 解答Y1= —20（舍去），Y2=18；
因假設(shè)知：（X2+3X）=18，解這個(gè)一元二次方程：X1= —6（舍去），X2=3
這樣4個(gè)人年齡中最大的是：X+3=6歲。
方法二，分解質(zhì)因數(shù)方法
從上面解答過(guò)程看，用代數(shù)的方法解答過(guò)程是復(fù)雜的，有時(shí)，在解答數(shù)學(xué)問(wèn)題中，算術(shù)方法更為簡(jiǎn)便。這在中學(xué)處理有些問(wèn)題中也經(jīng)常用到。特別是在解答選擇和填空題時(shí)。
360=23×32×5；
然后按照題意，把上面分解后的6個(gè)數(shù)進(jìn)行組合成為4個(gè)數(shù)的乘積，即：
360=3×4×5×6； 顯然最大的年齡是6歲。
2，某班王老師帶領(lǐng)全班同學(xué)去植樹(shù)，學(xué)生恰好平均分成三組，如果老師與同學(xué)每人植樹(shù)一樣多，則共植樹(shù)572棵，那么這個(gè)班有學(xué)生多少人，每人植樹(shù)多少棵？
分析解答——依題意知道 ，植樹(shù)總數(shù)=每人植樹(shù)棵數(shù)×師生總數(shù)，
師生總數(shù)=每組學(xué)生數(shù)×3組+1名老師，說(shuō)明師生總數(shù)除以3，余數(shù)是1。
572=2×2×11×13，
依題意，把分解得到是質(zhì)因數(shù)進(jìn)行組合得：
572=11×52=11×（51+1）
因此，這個(gè)班學(xué)生51人，每人植樹(shù)11棵；
注意：572=44×13=44×（12+1），這里，全班人數(shù)12人，老師1人，每人植樹(shù)44棵情況不符合題意——一個(gè)班學(xué)生人數(shù)應(yīng)該不是12人；
三、奇數(shù)與偶數(shù)類(lèi)應(yīng)用題
自然數(shù)按奇偶性分類(lèi)，分為奇數(shù)與偶數(shù)，利用奇數(shù)和偶數(shù)的性質(zhì)可以解決一些有趣的問(wèn)題。
奇數(shù)與偶數(shù)的性質(zhì)奧數(shù)教材第21頁(yè)進(jìn)行了歸納，這些性質(zhì)要熟記。幾點(diǎn)要注意：
1，偶數(shù)個(gè)奇數(shù)的和是偶數(shù)，奇數(shù)個(gè)奇數(shù)的和是奇數(shù)；
2，在運(yùn)算中，加法與減法運(yùn)算結(jié)果的的奇偶性不變。也就是：偶數(shù)個(gè)奇數(shù)的差是偶數(shù)，奇數(shù)個(gè)奇數(shù)的差仍然是奇數(shù)；
3、奇數(shù)≠偶數(shù)
例題1：9只杯子全部口朝上，每次翻動(dòng)其中的4只杯子，能否經(jīng)過(guò)若干次翻動(dòng)，使9只杯子開(kāi)口全部朝下？
分析解答——由題目知道，每次翻動(dòng)4只杯子，翻動(dòng)若干次，那么具體一共翻動(dòng)的次數(shù)的確切數(shù)是無(wú)法確定的。審題后要知道 ，一個(gè)問(wèn)題只能用奇偶性解決。我們先研究一只杯子，翻動(dòng)1次口朝下，翻動(dòng)2次口朝上，翻動(dòng)3次口朝下……，每只杯子要口朝下必須翻動(dòng)奇數(shù)次，這樣問(wèn)題就找到了解答的方案。
敘述解答過(guò)程：每只杯子只有翻動(dòng)奇數(shù)次口才能朝下，要使9只杯子口全部朝下，翻動(dòng)的總次數(shù)是9個(gè)奇數(shù)的和。因?yàn)槠鏀?shù)個(gè)奇數(shù)的和是奇數(shù)，所以，翻動(dòng)的總次數(shù)是奇數(shù)。依題意，每次翻動(dòng)4只杯子，翻動(dòng)的總次數(shù)是4的倍數(shù)，這個(gè)總次數(shù)是偶數(shù)，前后矛盾，即奇數(shù)≠偶數(shù)，所以，無(wú)論怎么翻動(dòng)，都不能使9只杯子的口朝下。
例題2（奇偶性中的周期問(wèn)題）一個(gè)會(huì)議室有9盞燈，從1——9依次編號(hào)，開(kāi)始時(shí)，只有編號(hào)是2，6，9的燈是亮著的，一個(gè)同學(xué)按1——9，再按1——9順序不停地拉動(dòng)開(kāi)關(guān)，一共拉了300下，這時(shí)編號(hào)是幾的燈是不亮著的。
分析解答——每盞燈拉動(dòng)開(kāi)關(guān)奇數(shù)下改變?cè)瓉?lái)的狀態(tài)，即暗的'變亮，亮的變暗。
300÷9=33……3，所以，1，2，3號(hào)燈拉動(dòng)了34次，拉了偶數(shù)下，不改變?cè)瓉?lái)的狀態(tài)，即原來(lái)是亮的仍然亮，原來(lái)是暗的仍然暗；4，5，6，7，8，9拉了33下，是奇數(shù)下，改變?cè)瓉?lái)的的狀態(tài)，原來(lái)亮的變暗，原來(lái)暗的變亮。所以不亮的燈是：1，3，6，9號(hào)。
四，數(shù)的倍數(shù)（整除）類(lèi)應(yīng)用題
數(shù)論問(wèn)題是數(shù)學(xué)“王國(guó)”中最有趣的數(shù)學(xué)知識(shí)，無(wú)論你的學(xué)歷高低都能夠研究這部分的內(nèi)容，通過(guò)對(duì)數(shù)論的研究，可以訓(xùn)練人的分析問(wèn)題和邏輯推理能力。要熟練地解答整除問(wèn)題類(lèi)應(yīng)用題，必須對(duì)2，5；4，25；8，125；3，9；7，11，13倍數(shù)的數(shù)的特征（或能夠被以上數(shù)整除的數(shù)的特征）十分清楚，并能夠把知識(shí)靈活運(yùn)用。
例題1（奧數(shù)教材第29頁(yè)練習(xí)3）六一兒童節(jié)快到了，四（2）班的同學(xué)分成4組做綢花，每個(gè)小組做的綢花一樣多，馬大哈統(tǒng)計(jì)了一下說(shuō)“還是人多力量大，大家一共做了246朵綢花”，馬大哈統(tǒng)計(jì)對(duì)了嗎？為什么？
分析解答——四（2）班同學(xué)做的花總數(shù)=每個(gè)組做的花×4，花的總數(shù)是4的倍數(shù)；下面就看246朵是不是4的倍數(shù)，問(wèn)題就解決了。
答：馬大哈統(tǒng)計(jì)錯(cuò)了。因?yàn)椋ǖ目倲?shù)=每個(gè)組做的花×4，花的總數(shù)是4的倍數(shù)；4是倍數(shù)的數(shù)的特征是末兩位數(shù)的4的倍數(shù)，而246的麥兩位數(shù)46不能被4整除，246不是4的倍數(shù)，所以，馬大哈統(tǒng)計(jì)錯(cuò)了。
例2、有72名學(xué)生，共交課間餐費(fèi)A52.7B元，平均每人交多少元？
分析解答——把課間餐費(fèi)化為分，則總錢(qián)數(shù)A527B（分）一定是總?cè)藬?shù)72的倍數(shù)，又72=8×9，所以，A527B是8和9的倍數(shù)。根據(jù)8的倍數(shù)特征：一個(gè)數(shù)的后三位組成的數(shù)是8的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)就是8的倍數(shù)。即：27B是的的倍數(shù)，只有B=2， 這個(gè)數(shù)變?yōu)榱薃5272，又這個(gè)數(shù)是9的倍數(shù)，它的各位數(shù)字之和是9的倍數(shù)，A+5+2+7+2=A+16，所以，A=2，72名學(xué)生的課間餐費(fèi)總數(shù)是：25272分；平均每個(gè)同學(xué)交：25272÷72=351（分）=3.51（元）
例題3（奧數(shù)教材第34頁(yè)練習(xí)4）、新學(xué)期開(kāi)學(xué)了，學(xué)校為了使同學(xué)們有一個(gè)更加方便的讀書(shū)環(huán)境，新買(mǎi)了18個(gè)書(shū)架，可是會(huì)計(jì)不小心把發(fā)票給弄污了，單價(jià)只剩下2個(gè)數(shù)字“2**0元”， 總價(jià)也只剩下2個(gè)數(shù)字“*4*8*元”你能幫助算出單價(jià)和總價(jià)嗎？
分析解答——由題意，總價(jià)一定是18的倍數(shù)，又18=2×9，總價(jià)一定能夠被2和9整除，又單價(jià)的個(gè)位數(shù)字是0，18乘以單價(jià)的個(gè)位數(shù)字一定是0，所以，總價(jià)的個(gè)位數(shù)為0，即：總價(jià)是：A4B80元，這個(gè)數(shù)是2、9的倍數(shù)。又知道單價(jià)是2千多元，總價(jià)一定：
18×2000<總價(jià)<18×2990，36000<總價(jià)<53820，而總價(jià)的千位上的數(shù)字是4，所以總價(jià)萬(wàn)位的的數(shù)字只能是4，所以總價(jià)是：44B80， 4+4+B+8+0=16+B要是9的倍數(shù)，則B=2， 總價(jià)是44280元，單價(jià)是：44280÷18=2460（元）
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