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小學趣味數學教案歸納法之公雞的智慧

教案 時間:2021-08-31 手機版

小學趣味數學教案歸納法之公雞的智慧

  一只公雞,看見主人走過來撒米給它吃,非常高興。它希望每天都能吃到米。第二天,主人給它吃米,第三天,主人給它吃米,……第九十九天,主人給它吃米。于是,公雞認為:主人永遠給它吃米。第一百天,公雞看見主人走過來,以為又有米吃了,可是主人把它捉住殺了。

  公雞用歸納法得出每天都有米吃的結論,顯然是不完全的。公雞的智慧有限,無法達到這樣的認識。

  在數學里,也常用不完全的歸納法來發現規律。不過,前面已經說過,這樣得到的結論,都必須給出嚴格的證明才能成立。

  與自然數n有關的.結論,常常采用數學歸納法來證明。數學歸納法又叫做完全歸納法,在不會混淆的時候,可以簡稱為歸納法。它分為兩個部分:

  一、首先考慮最簡單的情況,通常是證明n=1時結論成立。這一步稱為奠基。

  二、其次考慮能不能從前一步推出下面一步。也就是證明:要是結論在n-1時成立,那么結論在 n時也成立。這一步稱為歸納。

  要是這兩部分都完成了,那就可由n=1時結論成立,推出在n=2時結論成立;由n=2時結論成立,又推出n=3時結論成立。這樣逐步推下去,可以得出結論對于一切自然數都成立。

  數學歸納法的思想在前面已經多次用到過。例如在第三節,我們實際上證明了:按照所說的規則,2n(n≥4)根火柴可以兩兩合并起來。當時的做法,是先從最簡單的情況做起,把八根火柴(n=4)兩兩合并起來。這就是奠基。

  然后,對十四根火柴,我們曾把它歸結為十二根火柴的問題;十二根又歸結為十根;十根又歸結為八根。這樣一步步退到八,也就是由八一步步進到十四。同樣,也可以進到四十,或者更一般地進到2n。其中的關鍵,是把左起第四根火柴與第一根火柴合并。這樣,2n根火柴的問題,就化為2(n-1)根火柴的問題了。只要2(n-1)根火柴能夠兩兩合并起來,那2n根火柴也就能兩兩合并起來。這就是第二部分:歸納。

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